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2013考研之线性代数总结笔记.doc


文档分类:研究生考试 | 页数:约47页 举报非法文档有奖
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文档列表 文档介绍
行列式
1 行列式
1)一般的行列式
,小数在后,这一对数构成一个逆序,排列中所有逆序的个数称为逆序数.
例1 求
.
2)定义的应用
a) .二阶行列式.
b) 行列式的某一项
例2 设. 求和的系数为多少.
含:.
的系数为:. 含: 的系数为:
2. 行列式的重要性质
1).
2). 若行列式的某行(某列).
3). 行列式的两行(两列)互换,其值变号.
4) 行列式的某行(某列)可以写成两数之和,则其行列式等于两个行列式之和
5). 把行列式的某行(某列)所有元素的倍数加到另一行(另一列)的相应元素上去,所得的新的行列式的值等于原行列式的值.
.
为代数余子式,为余子式.
1). 行列展开原理的应用:.
2). 代数余子式的组合值:它就等于在原来的行列式中把第行换成的行列式.
例3 设,计算的值.
解析:
4. 几个重要的公式.
1)
三角行列式: .
2) 准对角行列式:. .
3) 范德蒙德行列式: .
注: 范德蒙德行列式用来计算各行(或各列)称等比数列的行列式.
4)
5) 若为阶方阵, 为的特征值, 则且.
其中为多项式.
6) 若相似则且,其中为多项式.
题型一:数值型行列式的求解
1) 各行或各列中的元素成等比,则用范德蒙行列式求解.
2) 按行或按列展开降阶处理,只有1-2个非零元.
3) 三角形法.
注:计算过程中可能能用分块矩阵行列式的计算公式做简化计算.
例4 计算行列式.
解:
(每列减第一列)
第二列加第四列得:
例5 计算行列式
补例:证明
法一:原行列式

注:三对角行列式用上面行依次消去下面的行.
法二:递推法
由行列展开定理有
当有符合条件.
假设时结论成立,则时有
结论也成立. 证毕.
例6 计算行列式
解:
例7求下面阶行列式的值
解:行列式的值

例8 求
解:
题型二:抽象型行列式的求解(本章的重点)
1)利用行列式的向量性质和矩阵性质求解.
2)利用矩阵的特征值求解.
例9 设是一个阶正交矩阵且求.
解:
例10 设矩阵其中均为三维向量,已知行列式求行列式
解析:
例11 已知
求方阵的行列式.
解:
例12 若三个阶矩阵均不可逆,求
解:由题意
0,-1,-2为的特征值
的特征值为-1,-4,5.
例13 设均为阶矩阵,求
解:
题型三:证明
1) 利用的等价条件:
(a) (b) (c) 只有零解.
2) 反证法:假设矩阵可逆..
例14 已知阶矩阵满足,证明不可逆但可逆.
证明:,的特征值全为1
第二章矩阵
:将个数排成行,列,两边画个括号,即形如
称为一个行列矩阵,若矩阵为方阵.
2. 矩阵的简单运算
1)
2)数乘运算定义,.
3) .
a) 矩阵的乘法有下列的性质:
b)矩阵乘法的特殊性
(b1) 对于矩阵不能推出故消去率也不成立.
(b2) 对于矩阵不一定成立.
注:很多数字的计算公式在矩阵中不在成立, 如平方差公式.
c) 矩阵的幂. 设是阶方阵,,:. .
3. 逆矩阵与伴随阵:对于两个矩阵满足,则称是的逆矩阵.
1) 可逆的矩阵成为可逆矩阵或非奇异矩阵,
.
2)伴随矩阵:. .
2) 对于方阵,.
注:上面给出的逆矩阵公式只有理论价值,除了2阶方阵外一般不会用其计算,
4. 初等变换与矩阵
1) 初等行(列)变换:分两行互换(列)、一行(列)加上另一行(列)的倍数,一行(列)乘法一个非零常数.
2) 三种初等矩阵: 将单位阵进行初等行或列就可以得到初等矩阵.
,
3) 对于一个矩阵进行初等行(列)变换,相等对此矩阵左(右)乘一个相应的初等矩阵.
4) 等价存在可逆矩阵使得
5) 初等变换法求矩阵的逆:.
注:
5. 分块矩阵:分成几块,将其看成小的矩阵相乘,每块的乘法也就矩阵相乘.
几个常见的分块:
为的解.
注:若, 则为为的解
2)
几个常见的公式
关于和.
这四个运算任意两个的运算顺序可以交换.
2) 关于的结论
a) , 当可逆时.
b)
3) 关于矩阵的可逆性:.
4) 关于分块矩阵
a)
b),.
注: .
题型一:求矩阵的高次幂
1) 或,此时,故

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  • 时间2018-11-18