幂法和反幂法求矩阵特征值课程设计.doc

题目
幂法和反幂法求矩阵特征值
具
体
内
容
随机产生一对称矩阵,对不同的原点位移和初值(至少取3个)分别使用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量,用反幂法求计算矩阵的按模最小特征值及特征向量,并比较不同的原点位移和初值说明收敛。
要求
,了解问题的数学原形;
;
;
;
采用方法
及结果
说明
对于幂法和反幂法求解矩阵特征值和特征向量的问题将从问题分析,算法设计和流程图,理论依据,程序及结果进行阐述该问题。
:
求n阶方阵A的特征值和特征向量,是实际计算中常常碰到的问题,如:机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。对于n阶矩阵A,若存在数和n维向量x满足
Ax=x (1)
则称为矩阵A的特征值,x为相应的特征向量。
由高等代数知识可知,特征值是代数方程
|I-A|=+a+…+a+a=0 (2)
的根。从表面上看,矩阵特征值与特征向量的求解问题似乎很简单,只需求解方程(2)的根,就能得到特征值,再解齐次方程组
(I-A)x=0 (3)
的解,就可得到相应的特征向量。
上述方法对于n很小时是可以的。但当n稍大时,计算工作量将以惊人的速度增大,并且由于计算带有误差,方程(2)未必是精确的特征方程,自然就不必说求解方程(2)与(3)的困难了。幂法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)及对应特征向量的迭代方法,特别是用于大型稀疏矩阵。反幂法是计算海森伯格阵或三角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法之一。

1、幂法算法
(1)取初始向量u(例如取u=(1,1,…1)),置精度要求,置k=1.
(2)计算
v=Au,m=max(v), u= v/ m
(3)若| m= m|<,则停止计算(m作为绝对值最大特征值,u作为相应的特征向量)否则置k=k+1,转(2)
2、反幂法算法
(1)取初始向量u(例如取u=(1,1,…1)),置精度要求,置k=1.
(2)对A作LU分解,即A=LU
(3)解线性方程组 Ly=u,Uv=y
(4)计算
m=max(v), u= v/ m
(5)若|m=m|<,则停止计算(1/m作为绝对值最小特征值,u作为相应的特征向量);否则置k=k+1,转(3).
幂法流程图:
开始
输入A;[m,u,index]
=pow(A,1e-6)
k=0;m1=0
v=A*u
[vmax,i]=max(abs(v))
m=v(i);u=v/m
abs(m-m1)< 1e-6
index=1;break;
输出:m,u,index
结束
m1=m;k=k+1
反幂法流程图
开始
输入A;[m ,u,index]
=pow_inv(A,1e-6)
k=0;m1=0
v=invA*u
[vmax,i]=max(abs(v))
m=v(i);u=v/m
abs(m-m1)< 1e-6
index=1;break;
输出:m,u,index
结束
m1=m;k=k+1
输入A;[m,u,index]
=pow(A,1e-6)
三、算法的理论依据及其推导
(一)幂法算法的理论依据及推导
幂法是用来确定矩阵的主特征值的一种迭代方法,也即,绝对值最大的特征值。稍微修改该方法,也可以用来确定其他特征值。幂法的一个很有用的特性是它不仅可以生成特征值,而且可以生成相应的特征向量。实际上,幂法经常用来求通过其他方法确定的特征值的特征向量。
1、幂法的迭代格式与收敛性质
设n阶矩阵A的特征值,,…,是按绝对值大小编号的,x(i=1,2,…,n)为对应的特征向量,且为单根,即
||>||≥…≥||
则计算最大特征值与特征向量的迭代格式为
v=Au,m=max(v), u= v/ m (1)
其中max(v)表示向量v绝对值的最大分量。
2、对于幂法的定理
按式(1)计算出m和u满足
m=, u=
(二)反幂法算法的理论依据及推导
反幂法是用来计算绝对值最小的特征值忽然相应的特征向量的方法。是对幂法的修改,可以给出更快的收敛性。
1、反幂法的迭代格式与收敛性质
设A是非奇异矩阵,则零不是特征值,并设特征值为
||≥||≥…≥||>||
则按A的特征值绝对值的大小排序,有
||>||≥…≥||
对A实行幂法,就可得A的绝对值最大的特征值1/和相应的特征向量,即A的绝对值最小的特征值和相应的特征向量。
由于用A代替A作幂法计算,因此该方法称为反幂法,反幂法的迭代格式为 v= Au,m=max(v), u= v/ m (2)
2、