数学思想方法的两个源头.doc

1. 简单叙说《几何原本》的体例。
答:《几何原本》注重知识内在逻辑关系,采用演绎体系的体例,即以一些原始概念和不证明的公设和公理为基础,运用逻辑法则,把几何学中所有定理演绎出来。
2. 简单叙说《九章算术》的体例。
答:《九章算术》注重实用,不注意逻辑结构,采用“问题一答案一算法”的体例,即每章首先提出问题,然后给出答案,对有些问题给出解题的方法与计算步骤。
3. 简单叙说《几何原本》思想方法的特点。
答:(1)封闭的演绎体系
因为在《几何原本》中,除了推导时所需要的逻辑规则外,每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理,并且引入的概念(除原始概念)也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求,原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
另外,《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题,因此对于社会生活的各个领域来说,它也是封闭的。
所以,《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
(2)抽象化的内容
《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题,它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系,不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系,也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。
(3)公理化的方法
《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理,是全书其它命题证明的基本前提,接着给出23个定义,然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的,在一个定理的证明中,允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。
4. 简单叙说《九章算术》思想方法的特点?
答:(1)开放的归纳体系
从《九章算术》的内容可以看出,它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书,因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。
在《九章算术》中通常是先举出一些问题,从中归纳出某一类问题的一般解法;再把各类算法综合起来,得到解决该领域中各种问题的方法;最后,把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来,就得到整个《九章算术》。
另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳,从这些方法中提炼出数学模型,最后再以数学模型立章写入《九章算术》。
因此,《九章算术》是一个开放的归纳体系。
(2)算法化的内容
《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题,并对每个问题都给出答案,然后再给出“术”,作为一类问题的共同解法。因此,内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。
(3)模型化的方法
《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型,并把它们表述成问题,然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程,即先给出数学模型,然后再举出可以应用的原型。
第二章数学思想方法的几次重要突破
1. 分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想,并且比较它们的区别。
答:算术解题方法的基本思想:首先要围绕所求的数量,收集和整理各种已知的数据,并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式,然后通过四则运算求得算式的结果。
代数解题方法的基本思想是,首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式,并按等量关系列出方