Matlab PDE工具箱有限元法求解偏微分方程.doc

偏微分方程,再加上边界条件、初始条件构成的数学模型,只有在很特殊情况下才可求得解析解。随着计算机技术的发展,采用数值计算方法,可以得到其数值解。
偏微分方程基本形式

而以上的偏微分方程都能利用PDE工具箱求解。

PDE工具箱

PDE工具箱的使用步骤体现了有限元法求解问题的基本思路,包括如下基本步骤:
1) 建立几何模型
2) 定义边界条件
3) 定义PDE类型和PDE系数
4) 三角形网格划分
5) 有限元求解
6) 解的图形表达
以上步骤充分体现在PDE工具箱的菜单栏和工具栏顺序上,如下
具体实现如下。

打开工具箱
输入pdetool可以打开偏微分方程求解工具箱,如下
首先需要选择应用模式,工具箱根据实际问题的不同提供了很多应用模式,用户可以基于适当的模式进行建模和分析。
在Options菜单的Application菜单项下可以做选择,如下
或者直接在工具栏上选择,如下
列表框中各应用模式的意义为:
① Generic Scalar:一般标量模式(为默认选项)。
② Generic System:一般系统模式。
③ Structural Mech.,Plane Stress:结构力学平面应力。
④ Structural Mech.,Plane Strain:结构力学平面应变。
⑤ Electrostatics:静电学。
⑥ ostatics:电磁学。
⑦ Ac Power ics:交流电电磁学。
⑧ Conductive Media DC:直流导电介质。
⑨ Heat Tranfer:热传导。
⑩ Diffusion:扩散。
可以根据自己的具体问题做相应的选择,这里要求解偏微分方程,故使用默认值。此外,对于其他具体的工程应用模式,sol Multiphysics软件,它提供了更强大的建模、求解功能。
另外,可以在菜单Options下做一些全局的设置,如下
l Grid:显示网格
l Grid Spacing…:控制网格的显示位置
l Snap:建模时捕捉网格节点,建模时可以打开
l Axes Limits…:设置坐标系范围
l Axes Equal:同Matlab的命令axes equal命令
建立几何模型
使用菜单Draw的命令或使用工具箱命令可以实现简单几何模型的建立,如下
各项代表的意义分别为
l 绘制矩形或方形;
l 绘制同心矩形或方形;
l 绘制椭圆或圆;
l 绘制同心椭圆或圆;
l 绘制多义线。
这里只绘制一个圆如下
定义边界条件
选择Boundary菜单下的Specify Boundary Conditions…,如下
定义PDE类型和PDE系数
选择PDE菜单下的PDE Specifications…,如下
三角形网格划分
选择Mesh菜单下的Initialize Mesh初始化三角形网格,再选择Refine Mesh改进初始网格并细化网格,如下
初始化网格
细化网格
另外还可以进一步选择Jiggle Mesh微调网格。最后可以选择Display Triangle Quality显示三角形网格的质量图,其中1表示质量最好,0表示最差,如下
有限元求解
选择Solve菜单下的Solve PDE选项进行PDE问题的求解,如下
解的图形表达
选择Plot菜单下的Parameters…可以设置显示的效果,如下
显示结果如下