（试题 试卷 真题）习题.doc

【基础知识精讲】
一条直线经过线段中点且与该线段垂直,则称该直线为线段的垂直平分线(又称中垂线).
线段的垂直平分线是一条直线,,:垂直平分线上的点到线段两端距离相等,:,利用了全等三角形,而有关2的证明则利用等腰三角形的“三线合一”的性质.
【重点难点解析】
本节重点难点在于对“垂直平分线上的点是到线段两端距离相等的点的集合”,要能很好的用中垂线解决问题.
例1 已知△ABC中,AB,BC,CA的中垂线分别为l1,l2,l3(-1).求证l1,l2,l3三线共点.
-1
分析可考虑先设l1,l2,交于点O,再设法证明O在l3上,从而达到证l1,l2,l3共点的目的.
证设l1,l2交于O,连OA,OB,OC.∵l1为AB中垂线
∴OA=OB,同理OB=OC ∴OA=OC ∴,∴,l1l2l3共点.
注:该点叫三角形的“外心”,它与三条中线的交点重心,三条高的交点垂心及内角平分线交点内心称为“三角形的四心”
例2 若三角形三边的中垂线的交点在某一边上,则该三角形一定是( )


-2
分析如图3,14-2 P为中垂线交点,且在AB上,连PC,则PA=PB=PC.
∴∠1=∠A ∠2=∠B. ∠1+∠2=∠A+∠B==90°
∴∠ACB=90° 故选C
例3 -3,△ABC中∠A=120° AB=AC,AB的中垂线交AB于D,BC于F.
则= .
-3
分析∠A=120° AB=AC ∴∠B=∠C=30°
又DE为中垂线AE ∴EA=EB ∠EBA=∠EAB=30°
∠EAC=90° ∠C=30°
∴AE=BE=EC ∴=
例4 -4,AD为△ABC的角平分线,AD的中垂线交AB于E,BC延长线于F,求证∠CAF=∠B.
-4
分析本题从结论入手较困难,应从EF为AD中垂线这一条件入手,得到FA=FD,即△ADF为等腰三角形,∴∠2+∠3=∠4,而∠4为△ABD的外角,∴∠4=∠B+∠1,再由已知∠1=∠2可得结论∠3=∠B.
证∵EF为AD中垂线
∴AF=DF ∴∠2+∠3=∠4,
又∠4=∠1+∠B ∴∠2+∠3=∠1+∠B ∵∠1=∠2
∴∠3=∠B 即∠CAF=∠B.
【难题巧解点拨】
例1 △A BC中,∠A=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB,AC,BC上,且AD=AE,CD为EF中垂线,求证BF=2AD(-5).
-5
分析由已知CD为EF的中垂线,可知△CEF为等腰三角形,∴∠1=∠∠ACB平分线上一点,可利用角平分线性质,作D⊥BC于G. ∠A=90°
∴DA⊥AC ∴AD=DG,将线段AD转移到线段DG上,又由于∠B=45°
∴△BDG为等腰直角三角形∴DG=BG下面只需证明DG=GF,=GF,可考虑证△DGF≌△ADE.
证连DE,DF,作DG⊥BC于G.∵DC为EF的中