（试题 试卷 真题）函数的基本性质（一）.doc

主讲老师:肖宏
基础知识:
函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等,在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时,巧妙利用函数及其图象的相关性质,可以使得问题得到简化,从而达到解决问题的目的.
关于函数的有关性质,这里不再赘述,请大家参阅高中数学教材及竞赛教材:陕西师范大学出版社刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》.
例题:
已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)( )
(-2,0)上单调递增 (0,2)上单调递增
(-1,0)上单调递增 (0,1)上单调递增
提示:可用图像,
设f(x)是R上的奇函数,且f(x+3)=-f(x),当0≤x≤时,f(x)=x,则f(2003)=( )
A.-1
解:f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x)
∴ f(x)的周期为6
f(2003)=f(6×335-1)=f(-1)=-f⑴=-1
选A
定义在实数集上的函数f(x),对一切实数x都有f(x+1)=f(2-x)成立,若f(x)=0仅有101个不同的实数根,那么所有实数根的和为( )
B. D.
提示:由已知,函数f(x)的图象有对称轴x=
于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.
即有一个根就是
,其余100个根可分为50对,每一对的两根关于x=对称
利用中点坐标公式,这100个根的和等于×100=150
所有101个根的和为×101=.选B
实数x,y满足x2=2xsin(xy)-1,则x1998+6sin5y=______________.
解:如果x、y不是某些特殊值,则本题无法(快速)求解
注意到其形式类似于一元二次方程,可以采用配方法
(x-sin(xy))2+cos2(xy)=0
∴ x=sin(xy) 且 cos(xy)=0
∴ x=sin(xy)=±1
∴ siny=1 xsin(xy)=1
原式=7
已知x=是方程x4+bx2+c=0的根,b,c为整数,则b+c=__________.
解:(逆向思考:什么样的方程有这样的根?)
由已知变形得x-
∴ x2-2x+19=99
即 x2-80=2x
再平方得x4-160x2+6400=76x2
即 x4-236x2+6400=0
∴ b=-236,c=6400
b+c=6164
已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),f(x)=0有实数根,且f(x)=1在(0,1)内有两个实数根,求证:a>4.
证法一:由已知条件可得
△=b2-4ac≥0 ①
f⑴=a+b+c>1 ②
f(0)=c>1 ③
0<-
<1 ④
b2≥4ac
b>1-a-c
c>1
b<0(∵ a>0)
于是-b≥2
所以a+c-1>-b≥2
∴()2>1
∴>1
于是+1>2
∴ a>4
证法二:设f(x)的两个根为x1,x2,
则f(x)=a(x-x1)(x-x2)
f⑴=a(1-x1)(1-x2)>1
f(0)=ax1x2>1
由基本不等式
x1(1-x1)x2(1-x2)≤[(x1+(1-x1)+x2+(1-x2))]4=()2
∴≥a2x1(1-x1)x2(1-x2)>1
∴ a2>16
∴ a>4
已知f(x)=x2+ax+b(-1≤x≤1),若|f(x)|的最大值为M,求证:M≥.
解:M=|f(x)|max=max{|f⑴|,|f(-1)|,|f(-)|}
⑴若|-
|≥1 (对称轴不在定义域内部)
则M=max{|f⑴|,|f(-1)|}
而f⑴=1+a+b
f(-1)=1-a+b
|f⑴|+|f(-1)|≥|f⑴+f(-1)|=2|a|≥4
则|f⑴|和|f(-1)|中至少有一个不小于2
∴ M≥2>
⑵|-|<1
M=max{|f⑴|,|f(-1)|,|f(-)|}
=max{|1+a+b|,|1-a+b|,|-+b|}
=max{|1+a+b|,|1-a+b|,|-+b|,|-+b|}
≥(|1+a+b|+|1-a+b|+|-+b|+|-+b|)
≥[(1+a+b)+(1-a+b)-(-+b)-(-+b)]
=
≥
综上所述,原命题正确.
⑴解方程:(x+8)2001+x2001+2x+8=0
⑵解方程:
⑴解:原方程化为(x+8)2001+(x+8)+x2001+x=0
即(x+8)2001+(x+8)=(-x)2001+(-x)
构造函数