（试题 试卷 真题）压轴大题突破练(四).doc

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1. 已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围;
(3)函数f(x)是否为R上的单调函数?若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由.
解(1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,
∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.
令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,
∵ex>0,∴-x2+2>0.
解得-<x<.
∴函数f(x)的单调递增区间是[-,].
(2)∵函数f(x)在(-1,1)上单调递增,
∴f′(x)≥0对x∈(-1,1)都成立,
∵f′(x)=(-2x+a)ex+(-x2+ax)ex
=[-x2+(a-2)x+a]ex,
∴[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对x∈(-1,1)都成立,
∵ex>0,∴-x2+(a-2)x+a≥0对x∈(-1,1)都成立.
即a≥==(x+1)-对x∈(-1,1)都成立.
令y=(x+1)-,则y′=1+>0.
∴y=(x+1)-在(-1,1)上单调递增.
∴y<(1+1)-=.∴a≥.
(3)若函数f(x)在R上单调递减,
则f′(x)≤0对x∈R恒成立,
即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立,
∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立.
∴Δ=(a-2)2+4a≤0,即a2+4≤0,
这是不可能的,故函数f(x)不可能在R上单调递减.
若函数f(x)在R上单调递增,
则f′(x)≥0对x∈R恒成立,
即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对x∈R都成立,
∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≤0对x∈R都成立.
而Δ=(a-2)2+4a=a2+4>0,
故函数f(x)不可能在R上单调递增.
综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数.
2. 设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点到直线+=1的距离d=,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定值.
(1)解由e=得=,即a=2c,∴b=c.
由右焦点到直线+=1的距离为d=,
+=1化为一般式:
bx+ay-ab=0得=,解得a=2,b=.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线AB斜率存在时,
可设直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆+=1,
联立消去y整理可得
(4k2+3)x2+8kmx+(4m2-12)=0.
由根与系数的关系得:x1+x2=-,x1x2=.
∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.
即:(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,
∴(k2+1)-+m2=0,
整理得7m2=12(k2+1),
所以O到直线AB的距离d===(为定值).
当直线AB斜率不存在时,
可求出直线AB方程为x=±.
则点O到直线AB的距离为(定值).
3. 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、