四点共圆的性质与判定.doc

柳州市龙城中学谭兵
一、四点共圆的概念:
如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”。
D
A
B
C
二、四点共圆的性质:
D
(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;
(2)圆内接四边形的对角互补;
(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
三、四点共圆的判定方法:
判定方法1:四点到某一定点的距离都相等四点共圆.
判定方法2:从被证的四点中先选出三点作一圆,若另一点也在这个圆上四点共圆.
判定方法3:若凸四边形的对角互补四个顶点共圆
判定方法4:若凸四边形的一个外角等于其邻补角的内对角四个顶点共圆
E
D
A
B
C
D
A
B
C
A
B
C
D
D
C
B
A
D
A
B
C
E
D
C
B
A
判定方法5:共斜边的两个直角三角形四个顶点共圆,且斜边为直径
判定方法6:共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧四个顶点共圆.
判定方法7:(相交弦定理的逆定理)凸四边形ABCD的对角线AC、BD交于P,
若PD×BP=PC×AP 四个顶点共圆.
A
B
C
D
判定方法8:(割线定理的逆定理)若凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P,
PD×PC=PB×PA 四个顶点共圆
二、托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和. 
若四边形ABCD内接于圆 BD×AC = BC×AD + CD×AB.
托勒密定理的逆定理:如果凸四边形两组对边的积的和,等于两对角线的积
此四边形必内接于圆。
若BD×AC = BC×AD + CD×AB 四边形ABCD内接于圆.
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:如图所示,四边形ABCD内接于圆,CE∥BD交AB的延长线于E.
A
B
C
D
E
求证:AD · BE=BC · DC.
,已知在△ABC中,AB=AC,BD平分∠B,△:AD=EC.
性质
,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC.
求证:B、E、F、C四点共圆.
判定
*,面积为1989 ,且∠OPB=45°,PA∶PB=5∶
判定
.
A
B
C
D
:梯形 ABCD中,AD=BC,AB∥:BD2=BC2+AB · CD.
托勒密定理
△ABC中,∠,:AD · BC=BD · (AB +
AC).
A
B
C
D
托勒密
*,以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连结AO,如果AB=4,AO=,求AC的长.
**,AD、BC为过圆的直径AB两端点的弦,且BD与AC相交于E。
求证:AC · AE + BD · BE=AB2
,△ABC内接于圆,P为上一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F。
求证:D、E、F三点共线。
:△AOB中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,∠ABO=∠、BC,点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.
(1)如图1,若A、O、C三点在同一直线上,且∠ABO=60°,则△PMN的形状是______,此时=______;
(2)如图2,若A、O、C三点在同一直线上,且∠ABO=2α,证明△PMN∽△BAO,并计算的值(用含α的式子表示);
(3)在图2中,固定△AOB,将△COD绕点O旋转,直接写出PM的最大值.
例1、锐角的三条高、、交于,在、、、、、、( ) A、组 B、组 C、组 D、组

例2、如图,、、、四点在同一圆上,的延长线与的延长线交于点,且。
(1)证明:;
(2)延长到,延长到,使得,证明:、、、四点共圆.
例3、如图,在梯形中,,点,分别在边,上,设与相交于点,若
,,,四点共圆,求证:.
例4、在圆内接等腰三角形的底边上任取二点、,延长、分别交圆于、,求证:.
例5、如图,,分别是,边上的点,且不与顶点重合,已知,,,为方程的两根. (1)证明:,,,四点共圆;
(2)若,,,求,,,四点所在圆的半径.
例6、如图,为圆的直径,为垂直于的一条弦,垂足为,弦与交于点.
(1)证明:、、、四点共圆;(2)证明:.
例7、如图,在平行四边形中,为钝角,且,.
(1)求证:、、、四点