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常见函数
一次函数和常函数:
思维导图:
、一次函数(二)、常函数
定义域:(- ∞,+ ∞) 定义域: (- ∞,+ ∞)
值域:(- ∞,+ ∞) 正 k=0 反值域:{ b }
解析式:y = kx + b( k≠ 0 ) 解析式:y = b ( b为常数)
图像:一条与x轴、y轴相交的直线图像:一条与x轴平行或重合的直线
y b>0 b=0 b<0 y y
b>0
o x 0 x o x b=0
b<0 b=0 b>0 b<0
K > 0 k < 0
单调性: k > 0 ,在(- ∞,+ ∞)↑单调性:在(- ∞,+ ∞)上不单调
k < 0 ,在(- ∞,+ ∞)↓
奇偶性: 奇偶性: 偶函数

周期性: 非周期函数周期性:周期函数,周期为任意非零实数
反函数:在(- ∞,+ ∞)上有反函数反函数:在(- ∞,+ ∞)上没有反函数
反函数仍是一次函数
例题:
二、二次函数
1、定义域:(- ∞,+ ∞)
2、值域:

3、解析式:
4、图像:一条开口向上或向下的抛物线


对称轴: ;
:与x轴交点的个数。
5、单调性:

6、奇偶性:
7、周期性:非周期函数
8、反函数:在(- ∞,+ ∞)上无反函数,

例题:
三、反比例函数和重要的分式函数
(一)、反比例函数(二)、分式函数
定义域:(- ∞,0)∪(0,+ ∞) 定义域:
值域:(- ∞,0)∪(0,+ ∞) 值域:
解析式: 解析式:
图像:以x轴、y轴为渐进线的双曲线图像:以和为
渐近线的双曲线
y y
0 x 0 x
k > 0 k < 0
单调性: k>0,(- ∞,0)↓,(0,+ ∞)↓单调性:在和上
k<0,(- ∞,0)↑,(0,+ ∞)↑单调性相同
奇偶性:奇函数奇偶性:非奇非偶
对称性:关于原点对称对称性:关于点成中心对称
周期性:非周期函数周期性:非周期函数
反函数:在定义域上有反函数, 反函数:在定义域有反函数,
反函数是其本身。反函数是
(三)、(四)、
定义域:(- ∞,0)∪(0,+ ∞) 定义域:(- ∞,0)∪(0,+ ∞)
值域: 值域:(- ∞,+ ∞)
图像: 图像:

单调性: 单调性:(- ∞,0)↑(0,+ ∞)↑
奇偶性:奇函数奇偶性:奇函数
对称性:关于原点对称对称性:关于原点对称
四、指数函数、对数函数和幂函数
(一)、指数和对数运算及性质:
1、根式
过去,我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质:
整数指数幂概念整数指数幂运算性质
an=(n∈N*) (1)aman=am+n(m,n∈Z)
a0=1 (2)(am)n=am·n(m,n∈Z)
a-n= (3)(ab)n=an·bn(n∈Z)
因为am÷an可看作am·a-n,所以am÷an=am-n可以归入性质(1);
又因为()n可看作an·b-n,所以()n=可以归入性质(3).
现在我们来研究如何用幂表示底数。
(1)、n次方根的定义:若xn=a(n>1且n∈N*),则x叫a的n次方根.
问题:x如何用a表示呢?
【平方根】偶次方根有下列性质:
在实数范围内,正数的偶次方根有两个且互为相反数,负数没有偶次方根;
【立方根】奇次方根有下列性质:
在实数范围内,正数的奇次方根是正数,负数的奇次方根是负数.
(2)、n次方根的性质:
,其中叫根式,n叫根指数,a叫被开方数.
(3)、根式的运算性质
①()②
性质①推导过程:
当n为奇数时,x=,由xn=a得()n=a;
当n为偶数时,x=±,由xn=a得()n=a;
综上所述,可知:()n=a.
性质②推导过程:
当n为奇数时,由n次方根定义得:
a=;
当n为偶数时,由n次方根定义得:a=±
则|a|=|±|=
综上所述:=
例1、求下列各式的值
(1) (2)
(3) (4)(a>b)
解:(1) =-8
(2) =|-10|
(3) =|3-π|=π-3
(4) =|a-b|=a-b(a>b)
例2、求值:
分析:(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质;
解:
2、分数指数幂
(1).正数的正分数指数幂的意义

(2).规定:
(1)
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后,>0时,整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用. 若a>0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,