FLAC3D理论基础-屏幕版.doc

FLAC3D理论基础
这部分阐述的是FLAC3D的有关理论。FLAC3D很大一部分是二维FLAC的扩展,而显式有限差分法是FLAC和FLAC3D的共同的理论基础,有关这一部分,可参考FLAC用户手册。尽管如此,二维和三维的方程还是有一些明显的不同,特别是在数学模型的扩展上。这里主要讨论三维模型在FLAC3D中的实现方法。

FLAC3D是显式有限差分程序,可以模拟连续三维介质达到平衡状态或稳定塑性流动时的力学行为。这种力学行为,可以通过建立特定的数学模型和特定的数字模拟方法来实现。下面就来阐述这两方面的有关内容。

介质的力学特征可通过一般的力学关系(如应变的定义、运动方程等)和理想介质的本构方程进行推导。所得到的数学表达式是一系列的偏微分方程及相关变量如:静力学中应力和动力学中的应变速率、速度等。对于特定的具有几何特征和特殊性质的介质,这些方程和变量在给定的边界条件和初始条件下,可以求解。
尽管FLAC3D主要是研究处于极限平衡状态下的介质变形及应力状态,但它的模型里可以包含有运动方程是它的一大特色。在进行数字模拟过程中,由于惯性物体将达到稳定状态或平衡状态。
1符号约定
在FLAC3D的拉格朗日公式中,用矢量(),(其中i=1,3)来分别表示介质中点的空间位置、位移、速度和加速度。
作为一种符号约定,据上下文的不同,斜体字可以矢量和张量。如:符号表示笛卡儿坐标系下矢量的i分量;Aij表示张量[A]的(i,j)分量。还有,表示对xi的偏导数(其中可以是标量,也可以矢量或张量的分量。
规定:拉力和张力为正。
爱因斯坦的求和约定只适用于i,j,k(i,j,k=1,2,3)

给定点的应力状态可用一个对称的应力张量来表示。由柯西定理,若一个面的单位法矢量为[n],则它的拖曳矢量[t]:
(1)
应变速率与转动速率
假定介质颗粒以速度[v]运动,则在无穷小的时间内,发生无穷小应变,相应的应变张量可写为:
(2)
式中是对空间位置矢量的偏导数。
在下面的论述中,第一应变速率变量是表征单元体积的膨胀率的量。介质的形变率除了张量外,还有刚体位移[v]以及转动速率:
(3)
式中:eijk为符号函数,[w]为转动速率张量,其分量定义为:
(4)
运动方程与平衡方程
由运动定律的连续形式的柯西运动方程:
(5)
式中:ρ介质单位体积的质量,[b]作用于单位质量上的体力,d[v]/dt是速度对时间的偏导数。这些定理控制了介质单元体在力的作用下运动状态。当介质处于静力平衡时,加速度d[v]/dt为0,由上式得平衡状态下的偏微分方程:
(6)
边界条件及初始条件
边界条件包括施加于边界上的牵引力和(或)速度(由位移而产生的)。另外,还应考虑体力和初始应力状态。
本构方程
运动方程式(5)和应变速率的定义式(2)共有9个方程和15个未知量,这15未知量包括6个应力速率分量、6个应变速率分量及3个速度矢量分量。考虑特定的材料性质,有另外6个相联系的本构方程,通常用下式表示:
(7)
式中:为共转(co-rotational)应力速率张量,[H]为一给定的函数,k是与加载路径有关的参数。共转(co-rotational)应力速率张量,等于给定参考系的介质内一点的应力的偏导数和以瞬时角速度的转动,数学表达式如下:
(8)
式中,是应力对时间的偏导数,[w]为转动速率张量。
数学模拟
FLAC3D有以下三种逼近方法:
有限差分法。假定在变量在空间和时间内线性变化,用变量对空间和时间的一阶导数来近似等于它的有限差分值。
离散单元法。将连续介质离散为等效块体集合体,所有的力(施加的作用力与相互作用力)作用在三维网格的节点上。
动力学解法。运用运动方程求解所研究系统达到平衡状态时的参量。
利用以上逼近方法,连续介质的运动定律可变为节点上的牛顿定律的离散形式。从而可通过显式有限差分法来求解一般的差分方程。等价介质空间偏导数在由速度定义的应变速率用到。因此,为了定义速度变量和相应的空间间距,介质需离散为常应变速率四面体单元,它的顶点即为网格的节点(图1)。
图1 四面体单元的面和节点
空间微分与有限差分的近似
作为基础,下面由节点运动方程推导四面体的应变速率张量各分量的有限差分公式。四面体的节点1到4,面n指与节点n相对的面(见图1)。