均值不等式.doc

课题:算术平均数与几何平均数
教学目标:掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理,并会简单运用;
利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”.
教学重点:均值不等式的灵活应用。
(一) 主要知识:
两个数的均值不等式:若,则≥(等号仅当时成立)
三个数的均值不等式:若,则≥(等号仅当时成立)
几个重要的不等式:
①≤≤②≤;
③如果,则≥≥≥
最值定理:当两个正数的和一定时,其乘积有最大值;当两个正数的乘积一定时,其和
有最小值。
(二)主要方法:
常见构造条件的变换:加项变换,系数变换,平方变换,拆项变换,常量代换,,应考虑函数的单调性(例如“对号”函数,导数法).
(三)典例分析:
:
;;;
; ;
已知(为常数),,求的最小值
,,且,求的最大值.
;
,,且,则

已知≥,≥,且,求证:≤
若, 求的最小值
(四)课后作业:
已知那么的最小值是
已知:,求证:
若,则的最大值是此时,
已知,则的最小值为
已知实数满足则的最小值和最大值分别为
, , , ,无最大值
求的最小值
当时,求证:.
已知正数、满足,则的最大值是

下列函数中,的最小值为的是

若,且,则的最大值是

(内江二中)已知,则的最小值是

若是正实数,,则的最大值是
要使不等式对所有正数都成立,试问的最小值是
(届高三西安市第一次质检),由不等式≥,≥,
≥,…,启发我们得到推广结论:
≥,则
已知:、,,求的最小值
(五)走向高考:
(湖南)设则以下不等式中不恒成立的是
(重庆)若是正数,则的最小值是
(福建文)下列结论正确的是
当且时,则当时,
当≥时,的最小值为当时,无最大值
(陕西)已知