正方形判定的方法.pptx

正方形判定的方法
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正方形的定义可知:正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的特殊的菱形。它们的包含关系如图(1): 矩形、菱形、正方形都是有特殊条件的平行四边形。
从图(1)中可以知道,平行四边形包含了矩形、菱形、正方形、而正方形又被包含在矩形和菱形中,因而要判定一个四边形是正方形,可以从两步来着手,
一步:先判定四边形是矩形,再一步菱形;二步:先判定四边形是菱形,再判定这个菱形也是矩形。
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例1:已知:如图(2),点A‘、B’、C‘、D’分别是正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA的中点,求证:四边形A'B'C'D'是正方形。
分析(1)你能证明四边形是矩形吗?
(2)你能证明四边形是菱形吗?
(3)你能证明四边形是正方形吗??
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证明:∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB=BC, ∠A=∠B=90°又∵D’,A ’,B ’是 DA 、 AB、BC的中点∴AD’=AA’=A’B=BB’∴∠1=∠2=∠3=∠4=45°
∴∠D’A’B’=180°-∠1-∠3=90°同理:∠A’B’C’=90° ∠B’C’D’=90°∴四边形A’B’C’D’是矩形( ①)
在△D’AA’和△A’BB’中
AD’=AB’,∠A=∠B,AA’=BB’
∴△D‘AA’≌△A‘BB’(SAS)∴A‘D’=A‘B’∴四边形A‘B’C‘D’是正方形( ②)
学习如逆水行舟不进则退
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已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC, DF⊥AC,垂足分别为E、F.求证: 四边形CFDE是正方形.
∵ CD平分∠ACB,
DE⊥BC, DF⊥AC,
∴ DE=DF(①).
又∵∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°,
∴四边形CFDE是矩形(②),
∴四边形CFDE是正方形(③).
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练分且相等的四边形是正方形。
已知:如图(3),AC=BD,AO=CO,BO=DO,AC⊥BD。
求证:四边形ABCD是正方形。
请大家先根据题意,画出图形然后写出已知,求证,
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求证:对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
已知:AC、BD相交于点O,且AC=BD,AO=CO, BO=DO,AC⊥BD。求证:四边形ABCD是正方形。
证明:
∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形
∵ AC=BD∴平行四边形ABCD是矩形(①)∵AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形(②)
∴四边形ABCD是正方形(③)
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1、请大家说出正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系?
掌握正方形的判定的方法。 正方形中,课本上没有给出明显的判定定理,它只告诉我们,要判定一个四边形是正方形,分两个步骤:
2、平行四边形它包含了矩形、菱形、正方形;而正方形又包含在矩形和菱形中。
第一步:先判定四边形是矩形,再判定这个矩形又是菱形;
第二步:先判定四边形是菱形,再判定这个菱形又是矩形,即可判定它是正方形。
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:
,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是: =BO=CO=DO,AC⊥BD ∥BC ∠A=∠C =CO BO=DO AB=BC =BD
3 .四个内角都相等,四条边也都相等的四边形一定是:
练习:
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1. 把一个长方形纸片如图那样折一下,就可以裁出正方形纸片,为什么?
2. 判断下列命题是否正确.
(1) 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.
(2) 对角线互相垂直的矩形是正方形.
(3) 对角线相等的菱形是正方形.
(4) 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
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