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三大抽样分布
教学目的:要求学生理解充分性的概念,掌握因子分解定理。
教学重点:掌握因子分解定理.
教学难点:因子分解定理的应用.
一、三大抽样分布的分布函数
综述:根据大数定理和中心极限定理,但样本容量较大时(数学上一般要求),任
何分布都依概率收敛于正态分布,并可标准化为。
现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止,不外乎的函数分布,
集中表现为3大抽样分布规律。
考研数学中规定:的分位数定义为下分位数(从图形上看为左边面积),3
大抽样分布的分位数定义都为上分位数(从图形上看为右边面积)
1. 分布(分布函数不要求掌握)
量纲模型:
性质:
独立同,
可加性

证明:由于

评注样本函数中的必需记住的数字特征
上分位点定义为分布的分位数
2. 分布(分布函数不要求掌握)
独立同分布独立
量纲模型:
性质:
t分布密度函数
上分位点定义为分布的分位数

性质分布具有对称性, 时,
(分布函数不要求掌握)
X、Y相互独立,;量纲模型:
评注特别地,但。
例:假定来自正态整体的一个样本,求。
解:
①上分位点定义为分布的分位数
②性质

●证明结论


而时
●证明结论如下
二、数理统计中8大样本函数的分布(枢轴量)的详细证明
1. 单个正态总体
设为一系列简单随机样本,则有
若已知,需要估计的范围,则使用枢轴量
;
证明一:




证明二:

=
=
==
=
故
评注公式①是标准化随机变量的手段,也是确定复合随机变量分布的基础。
若未知,需要估计的范围,则使用枢轴量
;且独立(是随机变量)
证明:
已知,且相互独立,
令,且相互独立。
作下列正交变换:
正交变换不改变向量组的秩,由于相互独立,则相互独立,且都服从。
记
由上述变换矩阵等式易得:
正交变换不改变向量的长度,所以
评注有重要的应用价值,如计算。

若未知,需要估计的范围,则使用枢轴量
证明:

若已知,需要估计的范围,则使用枢轴量
(是常量)
证明:

2. 两个正态总体(和独立同分布)
,

则有:
若已知,需要估计的范围,则使用枢轴量

证明:

若未知,但时,需要估计的范围,则使用枢轴量

其中:
证明:
如已知,需要估计的范围,则使用枢轴量

证明:

根据分布的意义,可以推知
如未知,需要估计的范围,则使用枢轴量

证明:

三、先进题型与求解秘技
陈氏密技量纲法求复合统计量的抽样分布。
3种抽样源正态;量纲法则判类型。
根据定义凑模式;标准变量容量值。
【例1】设来自正态总体的简单随机样本,求,使得
。
解:

【例2】,
服从分布,求和自由度。
解:
同理
由的可加性知
所以
【例3】设相互独立,都服从,则统计量服从什么分布。
解: 的分子是分布,分母是分布,则必是分布。
根据分布定义,需要把分子和分母标准化,这需要利用公式