单因素方差分析的计算步骤.doc

单因素方差分析的计算步骤
假定实验或观察中只有一个因素(因子),且有个水平,分别记为在每一种水平下,做次实验,在每一次试验后可得一实验值,记做表示在第j个水平下的第i个试验值。:
单因素方差分析数据结构表
观测值
水平
1
2
为了考察因素对实验结果是否有显著性影响,我们把因素的个水平看成是个正态总体,而看成是取自第总体的第个样品,因此,可设。
可以认为是因素的第个水平所引起的差异。因此检验因素的各水平之间是否有显著的差异,就相当于检验:
或者
具体的分析检验步骤是:
计算水平均值
令表示第种水平的样本均值,


式中,是第种水平下的第个观察值,表示第种水平的观察值次数
(二)计算离差平方和
在单因素方差分析中,离差平方和有三个,它们分别是总离差平方和,组内离差平方和以及组间平方和。
首先,总离差平方和,用代表,则,
其中它反映了离差平方和的总体情况。
其次,组内离差平方和,用表示,其计算公式为:
其中反映的是水平内部或组内观察值的离散状况,即反映了随机因素带来的影响。
最后,组间平方和,用表示,的计算公式为:
用各组均值减去总均值的离差的平方,乘以各组观察值个数,然后加总,即得到。可以看出,它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素,也包括系统因素。
根据证明,之间存在着一定的联系,这种联系表现在:
因为:
在各组同为正态分布,等方差的条件下,等式右边最后一项为零,故有,
即
(三)计算平均平方
用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对来说,其自由度为,因为它只有一个约束条件,即。对来说,其自由度是,这里表示水平的个数,反映的是组间的差异,它也有一个约束条件,即要求:
对来说,其自由度为,因