求值域的10种方法.doc

求函数值域的十种方法
(观察法):对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
。
【解析】∵,∴,∴函数的值域为。
【练习】
:
①; ②;
③; ,。
【参考答案】①;②;③;。
:适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如的函数的值域问题,均可使用配方法。
()的值域。
【解析】。
∵,∴,∴,∴,∴。
∴函数()的值域为。
。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:
配方得:利用二次函数的相关知识得,从而得出:。
说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:。
,试求的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点,确定一条直线,作出图象易得:
,y=1时,取最大值。
【练习】
、最小值与值域:
①; ②; ③;
④;,;。
【参考答案】①;②;③;④;;
:反函数的定义域就是原函数的值域,利用反函数与原函数的关系,求原函数的值域。
适用类型:分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
。
分析与解:由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出,从而便于求出反函数。
反解得,故函数的值域为。
【练习】
。
,的值域。
【参考答案】1.;。
:
适用类型1:分子、分母是一次函数的有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。
例6:求函数的值域。
解:∵,
∵,∴,∴函数的值域为。
适用类型2:分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为(常数)的形式。
例7:求函数的值域。
分析与解:观察分子、分母中均含有项,可利用分离变量法;则有。
不妨令:从而。
注意:在本题中若出现应排除,。
另解:观察知道本题中分子较为简单,可令,求出的值域,进而可得到的值域。
【练习】
。
【参考答案】1.
五、换元法:对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。
例8:求函数的值域。
解:令(),则,∴。
∵当,即时,,无最小值。∴函数的值域为。
例9:求函数的值域。
解:因,即。
故可令,∴。
∵,,
故所求函数的值域为。
。
解:原函数可变形为:
可令X=,则有
当时,
当时,
而此时有意义。
故所求函数的值域为
例11. 求函数,的值域。
解:
令,则
由
且
可得:
∴当时,,当时,
故所求函数的值域为。
例12. 求函数的值域。
解:由,可得
故可令
∵
当时,
当时,
故所求函数的值域为:
六、判别式法:把函数转化成关于的二次方程;通过方程有实数根,判别式,从而求得原函数的值域,形如(、不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。
例13:求函数的值域。
解:由变形得,
当时,此方程无解;
当时,∵,∴,
解得,又,∴
∴函数的值域为
七、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。
例14:求函数的值域。
解:∵当增大时,随的增大而减少,随的增大而增大,
∴函数在定义域上是增函数。
∴,
∴函数的值域为。
例15. 求函数的值域。
解:原函数可化为:
令,显然在上为无上界的增函数
所以在上也为无上界的增函数
所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值
显然,故原函数的值域为
适用类型2:用于求复合函数的值域或最值。(原理:同增异减)
例16:求函数的值域。
分析与解:由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成,故可令:配方得:由复合函数的单调性(同增异减)知:。
八、利用有界性:一般用于三角函数型,即利用等。
例17:求函数的值域。
解:由原函数式可得:,可化为:
即
∵
∴
即
解得:
故函数的值域为
注:该题还可以使用数形结合法。,利用直线的斜率解题。
例18:求函数的值域。
解:由解得,
∵,∴,∴
∴函数的值域为。
九、图像法(数形结合法):其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等