某书店发行优惠券(1).doc

某书店发行优惠券,用一张优惠券可购买一套书籍甲,用两张优惠券可购买另两套书籍乙、丙中的一套,若有n张优惠券,去购买上述三种书籍,共有多少种不同方法数?
分析:设fn表示n张优惠券购买法的总数,我们可以用探求模式的策略寻找数列{fn}的递推关系,从而使问题得到解决。
解:设fn表示用n张优惠券买书购买法的总数。
当n=1时,只有一种购买法:购买甲。
f1=1
当n=2时,有三种方法:
1)先用一张购买甲,再有另一张也购买甲,即购买二套甲;
2)用两张券购买乙;
3)用两张券购买丙;
f2=3
当n=3时,可以分三种情况:
1)用一张券去购买甲,余下两张券有f2种方法;
2)用两张券去购买乙,余下一张券有f1种方法;
3)用两张券去购买丙,余下一张券有f1种方法。
所以f3=f2+2f1=5
当n=4时,可以分三种情况:
1)用一张券去购买甲,余下三张券有f3种方法;
2)用两张券去购买乙,余下两张券有f2种方法;
3)用两张券去购买丙,余下两张券有f2种方法。
f4=f3+2f2=11
由上述情况我们猜测:在一般情况下,有:
事实上,用n张优惠券买书有以下三种情况:
1)用第一张券去购买甲,而余下的(n-1)张券有fn-1种购买方法;
2)用第一和第二张券去购买乙,余下的(n-2)张券有fn-
2种购买方法;
3)用第一和第二张券去购买丙,余下的(n-2)张券有fn-2种购买方法。
因此:fn=fn-1+2fn-2
这就证明了(1)式的成立。
(1)式是买书问题的递推关系式,我们可以由(1)式计算出数列{fn}中任意一项的值,与砌砖问题一样,我们也可以用特征方程直接计算fn。
对应(1)式的特征方程为:
x2=x+2
它的两根是x1=2,x2=-1
因此fn=α1·2n+α2·(-1)n
由初始条件:f1=1,f2=3,得:
即为本题所求的购买书籍的方法总数。
回顾:本题中,(2)式也可以不用特征根法,直接从(1)式推导出来,具体如下:
由fn=fn-1+2fn-2可得:
fn+fn-1=2(fn-1+fn-2)
考虑数列:
un=fn+fn-1(n≥2)则:
un=2un-1(n≥2)可得:
所以,数列{un}为一公比为2的等比数列。
由u2=f2+f1=4推得:
un=4·2n-2=2n
即:fn+fn-1=2n… (3)
又由fn=fn-1+2fn-2可得:
fn-2fn-1=-fn-1+2fn-2
=-[fn-1-2fn-2]
考虑数列:
vn=fn-2fn-1(n≥2)
所以,vn=-vn-1
推得数列{vn}为一公比为-1的等比数列。
由v2=f2-2f1=1
所以,vn=1·(-1)n-2=(-1)n
即:fn-2fn-1=(-1)n… (4)
由(3)和(4)得:
将n=1代入上式,得f1=1也满足实际情况,即:
此结果与(2)式完全相同。
本题还可进行推广,我们将它留作练习。
注:本题和上节砌砖问题都是探求一般性结论的问题,我们在解题中都采用:特殊——一般这一解题模式。
在砌砖问题中,我们以观察作为前提,对所要求的砌砖问题进行全面地系统地考察,从而发现砌砖问题的关键所在:任一种砌法,它的顶部总是水平砌一块砖,或者竖直