小波变换基本方法.ppt

小波变换
小波变换既有频率分析的性质,又能表示发生的时间,有利于分析确定时间发生的现象,傅立叶变换只具有频率分析的性质。
小波变换的多分辨率的变换,有利于各分辨度不同特征的提取(图像压缩、边缘抽取、噪声过滤)。
小波变换一个信号为一个小波级数,这样一个信号可由小波系数来刻画。
小波变换速度比傅立叶快一个数量级,长度为M的信号,计算复杂度:
傅立叶变换:
小波变换:
设有信号f(t):
其傅里叶变换为F(jΩ):
即:
=
+
+
Ψ(t)
1/2Ψ(2t-t0)
2/3Ψ(4t-t1)
像Ψ(t)这样,有限长且均值为0的函数称为小波函数。
常用的小波函数如下图:
小波函数必须满足以下两个条件的函数:
小波必须是振荡的;
小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零,即是局部化的。如:
图1 小波例1
图2 小波例2
不是小波的例子
图4
图3
平均与细节
设一维信号{x1,x2}
平均
细节
则一维信号可以表示成{a,d},且原信号可以恢复如下:


当x1与x2非常接近时,一维信号{x1,x2}可近似的用{a}表示,可实现信号压缩。
a可以看成信号的整体信息
d可看成原信号用a表示时丢失的细节信息
平均与细节
对多元素信号{x1,x2,x3,x4}
信号可以表示为:{a1,0,a1,1,d1,0,d1,1}
丢失细节信号压缩为: {a1,0,a1,1}
信号可进一步表示为:{a0,0, d0,0}
丢失细节信号压缩为: {a0,0}
平均与细节
{x1,x2,x3,x4}-最高分辨率信息
{a1,0,a1,1}-次高分辨率低频信息
{d1,0,d1,1}-次高分辨率细节信息
{a0,0}-最低分辨率低频信息
{d0,0}-最低分辨率细节信息
{x1,x2,x3,x4}的小波变换{a0,0,d0,0,d1,0,d1,1}由整体平均和两个不同分辨率的细节信息构成
金字塔算法
一维信号{3,1,-2,4}的小波变换为{,,1,-3}
{}:最低分辨率低频信息
{}:最低分辨率细节信息
{2,1}:次高分辨率低频信息
{1,-3}:次高分辨率细节信息
{3,1,-2,4}:最高分辨率信息