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初三数学方案设计与决策专题总复习
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专题六方案设计与决策
、不等式和函数两类;涉及几何方面的有测量、包装等.
考向一利用方程或不等式进行方案设计
生活中许多实际问题需借助方程或不等式的求解,不仅如此还需要对方程或不等式的解,进行有针对性的分析作出方案设计与决策.
【例1】某学校为开展“阳光体育”活动,计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍,已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2,且其单价和为130元.
请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元?
若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个,羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍,且购买乒乓球拍的数量不超过15副,请问有几种购买方案?
分析:已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2,,3x,2x元,列一元一次方程来解决;根据购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个,羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍,找出羽毛球拍和乒乓球拍与篮球的关系,再根据购买乒乓球拍的数量不超过15副和不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍这两个不等关系列不等式组,求出篮球数量的范围,从而制定出方案.
解:因为篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2,所以,可以依次设它们的单价分别为8x,3x,2x元,于是,得8x+3x+2x=130,解得x=10.
所以,篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为80元、30元和20元.
设购买篮球的数量为y个,则购买羽毛球拍的数量为4y副,购买乒乓球拍的数量为副,根据题意,得80y+30×4y+20≤3000,80-y-4y≤15,①②
由不等式①,得y≤14,由不等式②,得y≥13.
于是,不等式组的解集为13≤y≤14,
因为y取整数,所以y只能取13或14.
因此,一共有两个方案:
方案一,当y=13时,篮球购买13个,羽毛球拍购买52副,乒乓球拍购买15副;
方案二,当y=14时,篮球购买14个,羽毛球拍购买56副,乒乓球拍购买10副.
方法归纳
本类型题目主要特点有:当利用不等关系来确定取值范围时,要结合不等式的取值范围来讨论;
当利用方程来确定取值范围时,往往利用解的整数性来解答.
需要说明的是利用方程或不等式进行方案设计常常可借助一次函数的性质进行决策.
考向二利用二次函数进行方案设计
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【例2】在“五个重庆”建设中,为了提高市民的宜居环境,某区规划修建一个文化广场,其中四边形ABcD是矩形,分别以AB,Bc,cD,DA边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米,设矩形的边长AB=y米,Bc=x米.
试用含x的代数式表示y.
现计划在矩形ABcD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元;
①设该工程的总造价为w元,求w关于x的函数关系式.
②若该工程政府投入1千万元,问能否完成该工程的建设任务?若能,请列出设计方案,若不能,请说明理由.
③若该工程在政府投入1千万元的基础上,,但要求矩形的边Bc的长不超过AB长的三分之二,且建设广场恰好用完所有资金,问:能否完成该工程的建设任务?若能,请列出所有可能的设计方案,若不能,请说明理由.
分析:根据圆周长列出关于x,y的等式;①根据三个区域的面积和价格标准,列出关于x的函数关系式;②比较二次函数的最小值与1千万的大小,给出判断;③根据“”列出相应的一元二次方程,解出方程的根,根据长宽的要求进行取舍.
解:由题意得πy+πx=628.
∵π=,∴+=628.
∴x+y==200-x.
①w=428xy+400πy22+400πx22=428x+400××24+400××x24=200x2-40000x+.
②仅靠政府投入的1千万元不能完成该工程的建设任务,其理由如下:
由①知w=XX+×107>107,
所以不能.
③由题意,得x≤23y,即x≤23,解得x≤80.
∴0≤x≤80.
又根据题意,得w=XX+×107=107+×105.
整理,得2=441,解