二次函数图象和性质知识点总结.doc

二次函数的图象和性质知识点总结
一、知识点回顾
1. 二次函数解析式的几种形式:
①一般式:(a、b、c为常数,a≠0)
②顶点式:(a、h、k为常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标。
③交点式:,其中是抛物线与x轴交点的横坐标,即一元二次方程的两个根,且a≠0,(也叫两根式)。
 
2. 二次函数的图象
①二次函数的图象是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线,几个不同的二次函数,如果a相同,那么抛物线的开口方向,开口大小(即形状)完全相同,只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到,移动规律可简记为:[左加右减,上加下减],具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时,可以先配方成的形式,然后将的图象上(下)左(右)平移得到所求图象,即平移法;也可用描点法:也是将配成的形式,这样可以确定开口方向,对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点(0,c),及此点关于对称轴对称的点(2h,c);如果图象与x轴有两个交点,就直接取这两个点(x1,0),(x2,0)就行了;如果图象与
x轴只有一个交点或无交点,那应该在对称轴两侧取对称点,(这两点不是与y轴交点及其对称点),一般画图象找5个点。
3. 二次函数的性质
函数
二次函数
a、b、c为常数,a≠0
(a、h、k为常数,a≠0)
 
a>0
a<0
a>0
a<0
图
象
 
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸
性
(2)对称轴是x=,顶点是()
(2)对称轴是x=,顶点是()
(2)对称轴是x=h,顶点是(h,k)
(2)对称轴是x=h,顶点是(h,k)
质
(3)当时,y随x的增大而减小;当时,y随x的增大而增大
(3)当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小
(3)当时,y随x的增大而减小;当x>h时,y随x的增大而增大。
(3)当x<h时,y随x的增大而增大;当x>h时,y随x的增大而减小
 
(4)抛物线有最低点,当时,y有最小值,
(4)抛物线有最高点,当时,y有最大值,
(4)抛物线有最低点,当x=h时,y有最小值
(4)抛物线有最高点,当x=h时,y有最大值
 
4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法
①配方法:将解析式化为的形式,顶点坐标为
(h,k),对称轴为直线,若a>0,y有最小值,当x=h时,;若a<0,y有最大值,当x=h时,。
②公式法:直接利用顶点坐标公式(),求其顶点;对称轴是直线,若若,y有最大值,当
5. 抛物线与x轴交点情况:
对于抛物线
①当时,抛物线与x轴有两个交点,反之也成立。
②当时,抛物线与x轴有一个交点,反之也成立,此交点即为顶点。
③当时,抛物线与x轴无交点,反之也成立。
 
二、考点归纳
考点一求二次函数的解析式
(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试求f(x)。
解答:
法一:利用二次函数的一般式方程
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意
故得f(x)=-4x2+4x+7。
法二:利用二次函数的顶点式方程
设f(x)=a(x-m)2+n
由f(2)=f(-1)可知其对称轴方程为,故m=;
又由f(x)的最大值是8可知,a<0且n=8;
由f(2)=-1可解得a=-4。
故。
法三:利用二次函数的零点式方程
由f(2)=-1,f(-1)=-1可知f(x)=-1的两根为2和-1,故可设F(x)=f(x)+1=a(x-2)(x+1)。又由f(x)的最大值是8可知F(x)的最大值是9,从而解得a=-4或0(舍)。
所以f(x)=-4x2+4x+7。
说明:求函数解析式一般采用待定系数法,即先按照需要设出函数方程,然后再代入求待定系数。
考点二二次函数的图像变换
例2.(2008年浙江卷)已知t为常数,函数在区间[0,3]上的最大值为2,则t=。
解答:作出的图像,I、若所有点都在x轴上方,则ymax=f(3)=2可解得t=1;II、若图像有部分在x轴下方,把x轴下方的部分对称地翻折到x轴上方即可得到的图像,则ymax=f(1)或ymax=f(3),解得t=-3或t=1,经检验,t=1。综上所述,t=1。
考点三二次函数的图像的应用
(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数,则f(1)的范围是()
A. f(1)≥25 B. f(1)=25 C. f(1)≤25 D. f(1)>25
解答:函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是