一元三次方程的解法
一元三次方程:只含有一个未知数,且未知数的最高次数为3的整式方程叫做一元三次方程,一元三次方程的一般形式是ax3+bx2+cx+d=0(a,b,c,d∈R且a≠0),下面来讨论一下一元三次方程求解的问题。
已知一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0,求方程的根。
解:令,得①
令,得②
经过换元,将原方程化为一元三次方程的特殊形式(),现在求方程②的根,
令y=u+v,两边立方得
由②③式可得,
由④⑤式可知u3和v3为方程的两根,
令,则,为1的立方根,,
则的根表示为
由⑥可知,
当时,方程有1个实根和2个共轭复根;
当时,a,b是相等的两个实数,方程有3个实根,其中有1个二重实根;
当时,方程有3个不相等实根。
以上解法为在卡尔丹公式基础上进一步研究得出,常用的一元三次方程解法除卡尔丹公式法外,还有盛金公式法。
下面通过几个例题具体的使用卡尔丹公式进行解题。
例题1:解方程x3-6x2+10x-8=0
解:令=y+2,得y3-2y-4=0
原方程的解为
例题2:解方程x3-12x+16=0
解:
原方程的解为
例题3:解方程x3-6x-4=0
解:
方程有3个不相等实根
令
原方程的解为
以上三个例题分别为方程根的三种情况,解一元三次方程的通法即先将方程化为特殊形式,再判断的值属于哪一种情况,根据公式求解即可。
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