数一2008真题及解析.doc

2008年考研数学一
一、选择题:(本题共8小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数,则的零点个数为【】
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
【答案】应选(B).
【详解】.
显然在区间上连续,且,由零点定理,知至少有一个零点.
又,恒大于零,,根据其单调性可知,至多有一个零点.
(B).
(2)函数在点(0,1)处的梯度等于【】
(A) (B) . (C) . (D) .
【答案】应选(A).
【详解】因为..
所以,,(A).
(3)在下列微分方程中,以(为任意的常数)为通解的是【】
(A) . (B) .
(C) . (D) .
【答案】应选(D).
【详解】由,可知其特征根为
,,故对应的特征值方程为

(D).
(4)设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是【】.
(A) 若收敛,则收敛(B) 若单调,则收敛
(C) 若收敛,则收敛. (D) 若单调,则收敛.
【答案】应选(B).
【详解】若单调,则由函数在内单调有界知,若单调有界,(B).
(5)设为阶非零矩阵,,则【】
则下列结论正确的是:
(A) 不可逆,则不可逆. (B) 不可逆,则可逆.
(C) 可逆,则可逆. (D) 可逆,则不可逆.
【答案】应选(C).
【详解】故应选(C).
,.
故,(C).
(6)设为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图,则的正特征值个数为【】
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
【答案】应选(B).
【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面,(B).
(7) 设随机变量独立同分布且的分布函数为,则的分布函数为【】
(A) . (B) . (C) . (D) .
【答案】应选(A).
【详解】
.故应选(A).
(8)设随机变量, , 且相关系数,则【】
(A) (B)
(C) (D)
【答案】应选(D).
【详解】,知,正相关,(A)和(C).由,,得
.
,.从而排除(B).故应选(D).
二、填空题:(9-14小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上.)
(9)微分方程满足条件的解是.
【答案】应填.
【详解】由,,得.
代入条件,.
(10)曲线在点的切线方程为.
【答案】应填.
【详解】设,则
,,
,.于是斜率.
故所求得切线方程为.
(11)已知幂级数在处收敛,在处发散,则幂级数的收敛域为.
【答案】.
【详解】由题意,知的收敛域为,.
(12)设曲面是的上侧,则.
【答案】.
【详解】,有
.
.
(13) 设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,,.则的非零特征值为___________.
【答案】应填1.
【详解】根据题设条件,得.
记,因线性无关,
,,则与相似,从而有相同的特征值.
因为,,.故的非零特征值为1.
(14) 设随机变量服从参数为1的泊松分布,则____________.
【答案】应填.
【详解】因为服从参数为1的泊松分布,.
三、解答题:(15-23小题,共94分. )
(15)(本题满分10分)
求极限
【详解1】
=
(或,或)
.
【详解2】
=(或)
.
(16)(本题满分9分)
计算曲线积分,其中是曲线上从到
的一段.
【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算.
.
【详解2】添加辅助线,按照Green公式进行计算.

.
因为
故
【详解3】令
对于,,故与积分路径无关.
.
对于,
.
故
17(本题满分11分)已知曲线求上距离面最远的点和最近的点.
【详解1】点到面的距离为,故求上距离面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数在条件下的最大值点和最小值点.
构造拉格朗日函数
,
由
得,
从而解得或
根据几何意义,曲线上存在距离面最远的点和最近的点,故所求点依次为和.
【详解2】点到面的距离为,故求上距离面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数在条件下的最大值点和最小值点.
构造拉格朗日函数
,
由
得,从