线性代数课件5-3相似矩阵与方阵对角化new.ppt

只需寻找
§3 对称方阵对角化和二次型化标准形
使二次型
转换为标准形
正交变换
要判断曲线、曲面形状
只需将曲线、曲面方程转化为标准方程
只需寻找
本章中心
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本章结构:
二次型的定义及矩阵表示
正交向量组
特征值与特征向量
方阵对角化的充要条件
对称方阵对角化
二次型化标准型
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本节重点:
(1)求正交相似变换阵将实对称矩阵化为对角阵;
(2)求正交变换将二次型化为标准形。
复习
n 阶矩阵 A 可对角化
A有n 个线性无关的特征向量.
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求n阶特征值和特征向量的方法:
1.
求特征多项式
就是n阶矩阵A的特征值;
2.
求特征方程
的根
的非零解,
3.
求解齐次线性方程组
就是n阶矩阵A的特征向量.
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一、对称矩阵一定能对角化
引理1 对称矩阵的特征值为实数.
引理2 对称矩阵的不同特征值的
特征向量正交.
推论: 对称矩阵的特征向量都是实向量.
r 重根,则
特征向量.
r
个线性无关的
恰有
引理3 设A 为n 阶对称矩阵,
的特征方程
从而特征值
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分析:
(1)设对称阵A有m个不同特征值
它们的重数依次为
(2)相应于
恰有
个线性无关的特征向量
(3)
为可逆阵,且有
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得知对称方阵A一定可以对角化
其中
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定理1 设A 为n 阶对称矩阵,
则必有正交矩阵Q,使
对称方阵A一定可以对角化,而且相似变换
阵不唯一.
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化
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步骤:
(1)设对称阵A有m个不同特征值
它们的重数依次为
(2)相应于
恰有
个线性无关的特征向量
,把它们正交单位化得,
(3)
为正交阵,且有
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例1 求一正交相似变换阵
将对称矩阵
对角化。
解:
(1)A的特征多项式为
故A的特征值为
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