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双曲线离心率的值及其取值范围
我们把离心率为e=的双曲线(a>0,b>0):
①双曲线x2-=1是黄金双曲线;
②若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;
③如图,若∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;
④如图,若∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线.
其中正确的是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
D 解析:①e====,双曲线是黄金双曲线.
②由b2=ac,可得c2-a2=ac,两边同除以a2,即e2-e-1=0,从而e=,双曲线是黄金双曲线.
③|F1B1|2=b2+c2,|A2B1|2=b2+a2,|F1A2|2=(a+c)2,注意到∠F1B1A2=90°,所以b2+c2+b2+a2=(a+c)2,即b2=ac,由②可知双曲线为黄金双曲线.
双曲线-=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为30°的直线,交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.

设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( )
A. B.


在平面直角坐标系xOy中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上, 一条渐近线的方程为x-2y=0,则它的离心率为
( ).
A. B. C.
解析由题意知,这条渐近线的斜率为,即=,
而e====,故选A.
答案 A
曲线+=1(m<6)与曲线+=1(5<m<9)的( )


解析:由+=1(m<6)知该方程表示焦点在x轴上的椭圆,由+=1(5<m<9)知该方程表示焦点在y轴上的双曲线.
答案:D
已知双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得
=,可得e===.
答案:A
设△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为( )
A. B.
+ +
【解析】由题意2c=|BC|,所以|AC|=2×2c×sin 60°=2c,由双曲线的定义,有2a=|AC|-|BC|=2c-2c⇒a=(-1)c,∴e===.
【答案】 B
双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
∵△MF1F2为等腰三角形,∠F1MF2=120°,
∴∠MF1F2=30°,∴tan30°==,=,
=1-()2=,()2=,∴e=.
已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距,且方程ax2+bx+c=0无实根,则双曲线离心率的取值范围是( )
<e<-2 <e<2
<e<3 <e<2+
[答案] D
[解析] 由已知Δ=b2-4ac<0,
∴c2-a2-4ac<0.
∴()2-4()-1<0,即e2-4e-1<0.
∴2-<e<2+.
又e>