向量正余弦定理知识点.doc

1、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度(模).
零向量:长度为的向量叫零向量,记作:.零向量的方向是任意的
单位向量:长度等于个单位的向量.(与共线的单位向量是);
平行向量(共线向量)::方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:∥,规定零向量和任何向量平行。
注意:
①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性(因为有);
④三点共线共线;
相等向量:
相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是-。
下列命题:(1)若,则。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若,则是平行四边形。(4)若是平行四边形,则。(5)若,则。(6)若,则。其中正确的是_______
(答:(4)(5))
:
(1)几何表示:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;
(2)符号表示:用一个小写的英文字母来表示,如,,等;
(3)坐标表示:在平面内建立直角坐标系,以与轴、轴方向相同的两个单位向量,为基底,则平面内的任一向量可表示为,称为向量的坐标,=叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:
.
(几何意义:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)
⑷运算性质:①交换律:;
②结合律:;
③.
⑸坐标运算:设,,则.
4、向量减法运算:






⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.(注意:此处减向量与被减向量的起点相同)
⑵坐标运算:设,,
则.
设、两点的坐标分别为,, 则.
5、向量数乘运算:
⑴实数与向量的积是一个向量,记作.
①;
②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,.
⑵运算律:①;②;③.
⑶坐标运算:设,则.
6、向量共线定理:
向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.
设,,其中,则当且仅当时,向量、共线.
7、平面向量基本定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使.(不共线的向量
、作为这一平面内所有向量的一组基底
例:(1)若,则_______ (答:);
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是
A. B.
C. D. (答:B);
8、分点坐标公式:设点是线段上的一点,、的坐标分别是,,当时,点的坐标是.
9、平面向量的数量积:
(1)两个向量的夹角:对于非零向量,,作,
称为向量,的夹角,当=0时,,同向,当=时,,反向,当=时,,垂直。
(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量,,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积)