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函数的单调性
高考要求
了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法。会用函数单调性解决一些问题.
知识点归纳
函数的性质是研究初等函数的基石,.
复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性定义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化.
=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,,所以要受到区间的限制.
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①定义法:设;作差(一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出);判断正负号。
②用导数证明: 若在某个区间A内有导数,则
在A内为增函数;在A内为减函数。
3. 求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法。
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①若f与g的单调性相同,则为增函数;
②若f与g的单调性相反,则为减函数。
注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集。
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①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内:
增函数增函数是增函数;
减函数减函数是减函数;
增函数减函数是增函数;
减函数增函数是减函数。
④函数在上单调递增;在上是单调递减。
题型讲解
例1若y=log(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)
分析:本题存在多种解法,但不管哪种方法,都必须保证:①使log(2-ax)有意义,即a>0且a≠1,2-ax>0.②使log(2-ax)在[0,1]=logu,u=2-ax,其中u=2-ax在a>0时为减函数,所以必须a>1;③[0,1]必须是y=log(2-ax)定义域的子集.
解法一:因为f(x)在[0,1]上是x的减函数,所以f(0)>f(1),
即log2>log(2-a).
解法二:由对数概念显然有a>0且a≠1,因此u=2-ax在[0,1]上是减函数,y= logu应为增函数,得a>1,排除A,C,再令a=3,则的定义域为,但[0,1]不是该区间的子集。故排除D,选B.
说明:本题为1995年全国高考试题,综合了多个知识点,无论是用直接法,还是用排除法都需要概念清楚,推理正确.
例2(1)求函数的单调区间;
(2)已知若试确定的单调区间和单调性.
解:(1)单调增区间为:单调减区间为,
(2),
,
令,得或,
令,或
∴单调增区间为;单调减区间为.
例3设,是上的偶函数.
(1)求的值;(2)证明在上为增函数.
解:(1)依题意,对一切,有,即
∴对一切成立,则,∴,
∵,∴.
(2)(定义法)设,则
,
由,得,,
∴,
即,∴在上为增函数.
(导数法)∵,
∴
∴在上为增函数.
例4(1)若为奇函数,且在上是减函数,