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巧妙变换,轻松“看出”结果
利用变换转化的方法解决数学问题,是一个重要的数学思维方法,具有灵活性、多样性的特点。数学变换,能将复杂的问题转化为简单的问题,将难的问题转化为容易的问题。下面,笔者用教学中的两个案例谈谈自己的体会。
一、妙用圆规变换图形,轻松“看出”解题思路
[例1]在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,如图1将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A1B1C。
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如图2,设AC的中点为E,A1B1的中点为P,AC=a,连接EP。
当?兹= 时,EP的长度最大,最大值为。
[讲评引导过程]
师:“这个问题,很多同学解决起来没有思路。请问你们的困惑在哪里?”
生:“点E不变,点P变化,想不出变化过程中最大值出现在哪里。”
(看来,学生的问题主要出现运动变化上,不能准确把握变化的特点。)
教师因势利导:“点P是怎样变化的呢?”
生:“随着△ABC绕顶点C顺时针旋转。”
师:“那么,你能否想象出点P运动的轨迹吗?”
生:“以点C为圆心,以CP长为半径的圆。”
学生经过讨论,还可以得出如下结论:因为△ABC中∠ABC=30°,P为A1B1的中点,所以CP=AC,以点C为圆心,以CP长为半径的圆能经过A、A1两点。
师:“请用圆规把点P运动的轨迹画出来吧。”(学生画图,如图3。)
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师:“你能不能在圆上找到符合要求的点P呢?”
到这里,学生理解起来就比较轻松了:延长AC,交⊙C于点P1,P运动至P1处,此时EP的长度最大。
[同类变式]如图,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点。思考:如图4,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α。
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将如图4中的扇形纸片NOP剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转。
如图5,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值。
[思路分析]
求点P到CD的最小距离比较容易想出,但求旋转角∠BMO的最大值,很多学生不理解是求什么?问题实际上是根据原题中“使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转
”这个要求提出的。
在本题中,由于△MOP为等边三角形,故MO=PO=MP。利用圆规可以作出点O在旋转过程中的运动轨迹(如图6辅助线),就不难想出:当扇形OMP旋转到其所在的圆与直线AB相切时,产生∠BMO的最大值,此时∠BMO'为90°。
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[教学后记]使用圆规,能够准确地表现出旋转问题中某个特殊点的运动轨迹,它以变化的、运动的方式来处理思维上孤立的、离散的问题。很好地领会这种方法,在解题中将会收到奇效,也能有效地发散数学思维,提高数学应用水平,轻松“看出”解题思路将不是难不可及的事。
二、化简分数,轻松“看出”数字规律
[例2]一组有规律的数■,■,■,■,■,■……第10个数是什么?第n个呢?(用含有n的代数式表示