初中圆知识点总结与.docx

圆
一
圆的认识
知识点晴

O
A
r
(1)在一个平面内,线段OA绕它的一个端点O旋转一周,
另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O
叫做圆心,线段OA叫做半径,如右图所示。
(2)圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集
合,定点为圆心,定长为圆的半径。
说明:圆的位置由圆心确定,圆的大小由半径确定,半
径相等的两个圆为等圆。

(1)弦:连结圆上任意两点的线段。(如右图中
的CD)。
B
O
A
(2)直径:经过圆心的弦(如右图中的AB)。
直径等于半径的2倍。
D
C
(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧。(如
右图中的、)
其中大于半圆的弧叫做优弧,如,小
于半圆的弧叫做劣弧。
(4)圆心角:如右图中∠COD就是圆心角。

(1)与圆相关的角的定义
①圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角
②圆周角:顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
③弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。
(2)与圆相关的角的性质
①圆心角的度数等于它所对的弦的度数;
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
③同弧或等弧所对的圆周角相等;
④半圆(或直径)所对的圆周角相等;
⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角;
⑥两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等;
⑦圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
、弧、弦、弦心距之间的关系。
(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦的弦心距相等。
(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
例题精讲
下面四个命题中正确的一个是( )


,且过圆心

【答案】C
二
与圆有关的位置关系
知识点晴

如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:
(1)点在圆外
(2)点在圆上
(3)点在圆内

设r为圆的半径,d为圆心到直线的距离
(1)直线和圆相离,直线与圆没有交点;
(2)直线和圆相切,直线与圆有唯一交点;
(3)直线和圆相交,直线与圆有两个交点。

设R、r为两圆的半径,d为圆心距
(1)两圆外离;
(2)两圆外切;
(3)两圆相交;
(4)两圆内切;
(5)两圆内含。(注意:如果为,则两圆为同心圆。)
4. 切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:∵且过半径外端
∴是⊙的切线
(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
5. 切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:∵、是的两条切线
∴
平分
例题精讲
已知⊙O的半径为1,点P到圆心O的距离为d,若关于x的方程x2-2x+d=0有实根,则点P( ).
⊙O的内部 ⊙O的外部
⊙O上 ⊙O上或⊙O的内部
【答案】D
已知:如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,:OP垂直平分线段AB.
【答案】略
已知:如图,PA切⊙O于A点,PO∥AC,BC是⊙:直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由.
【答案】直线PB与⊙:连结OA,证ΔPAO≌ΔPBO
【例5】已知:如图,⊙O1与⊙O2外切于A点,直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B,C点,若⊙O1的半径r1=2cm,⊙O2的半径r2=.

【答案】.提示:分别连结O1B,O1O2,O2C.
【例6】如图,点A,B在直线MN上,AB=11cm,⊙A,⊙B的半径均为1cm.⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1+t(t≥0).
(1)试写出点A,B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式;
(2)问点A出发多少秒时两圆相切?
【答案】(1)当0≤t≤,d=11-2t;
当t>,d=2t-11.
(2) ①第一次外切,t=3;②第一次内切,
③第二次内