(又称排序原理) 设有两个有序数组及 则(同序和) (乱序和) (逆序和) 其中是1,2,…,(对任一排列)“平均不等式”: 设有n个正数的算术平均数和几何平均数分别是 此外,还有调和平均数(在光学及电路分析中要用到 , 和平方平均(在统计学及误差分析中用到) ——几何平均数不等式,可用来证明下述重要不等式. 柯西(Cavchy)不等式:设、、,…,是任意实数,则 等号当且仅当为常数,. 切比雪夫不等式:若,, :2.,求证:3.:,且各不相同,求证:.::对于任意正整数R,,证明:例题答案::评述:(1)本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母,不等式不变),在因式分解或配方时,,可将配方为,亦可利用,3式相加证明.(2):显然不等式两边为正,且是指数式,故尝试用商较法. 不等式关于对称,不妨,且,都大于等于1. 评述:(1)证明对称不等式时,不妨假定个字母的大小顺序,可方便解题.(2)本题可作如下推广:若(3)本题还可用其他方法得证。因,同理,另,4式相乘即得证.(4)设例3等价于类似例4可证事实上,一般地有排序不等式(排序原理): 设有两个有序数组,则(顺序和)(乱序和)(逆序和)(其证明略),:中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明. 不妨设,则(乱序和)(逆序和),同理(乱序和)(逆序和)两式相加再除以2,,:不等式右边各项;可理解为两数之积,,满足,,故从而,:排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式,:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方法.;:(1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧. 如,可在不等式两边同时加上 再如证时,可连续使用基本不等式.(2)
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