2013全国大学生数学建模竞赛 清华大学获奖论文A,3728.doc

摘要
本文针对卧式储油罐变位后罐容重新标定问题建立相应的数学模型。
问题一,首先对罐内储油分五种情况进行讨论,利用定积分分段求出不同油位高度时的实际油量(即罐内储油体积),并依此建立储油罐变位后罐容表重新标定的数学模型。其次,用附件1的实验数据计算模型的理论值,从而拟合出变位后的罐容标定偏差,发现理论值和实验值拟合得较好,最后给出变位后的罐容表标定值。
问题二,罐体的变位分为纵向和横向两个方向,首先将油浮子探测高度转换为等效的纵向倾角为的油位高度,再分五种情况对纵向变位做类似问题一的讨论,并依此建立变位后罐容表标定的数学模型;然后根据附件2中进油前的实际数据做非线性最小二乘拟合,并确定变位参数;进而利用附件2中进油后的实际数据对模型做单样本 Kolmogorov-Smirnov 检验,,从而较好的验证了模型的合理性和可靠性。最后给出变位后的罐容标定表。
关键词:罐容标定;罐体变位;非线性最小二乘拟合;单样本 K-S 检验
1 问题的提出
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐,并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”,采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据,通过预先标定的罐容表(即罐内油位高度与储油量的对应关系)进行实时计算,以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原因,使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化(以下称为变位),从而导致罐容表发生改变。按照有关规定,需要定期对罐容表进行重新标定。请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
(1)为了掌握罐体变位后对罐容表的影响,利用小椭圆型储油罐(两端平头的椭圆柱体),分别对罐体无变位和倾斜角为a=,实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响,并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
(2)对于实际的储油罐,试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型,即罐内储油量与油位高度及变位参数(纵向倾斜角度a和横向偏转角度b )之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据,根据所建立的数学模型确定变位参数,并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。
2 模型假设及符号约定
模型的假设
(1) 储油罐是刚体;
(2) 忽略油的物理变化;
(3) 忽略注油管,出油管和油位探测装置的体积;
符号的约定
: 椭圆长半轴;
: 椭圆短半轴;
: 油位探针到储油罐主体较近侧面的距离;
: 油位探针到储油罐主体较远侧面的距离;
: 储油罐主体的半径,同时也是球冠底面的半径;
: 球冠厚度;
: 球冠所在球体的半径;
: 油罐左下角到左端油面点的距离;
: 油位高度;
: 储油罐主体的长度;
: 油面所在平面;
: 储油罐的油体的空间;
: 储油罐横向偏转时的等效油位高度;
: 无变位储油罐中油的体积,简记;
: 变位储油罐中油的体积,简记;
: 无变位储油罐左边的球冠在下面油的体积,简记;
: 无变位储油罐的圆柱体在下面油的体积,简记;
: 变位储油罐左边的球冠中油的体积,简记;
: 变位储油罐右边的球冠中油的体积,简记;
: 变位储油罐的圆柱体中油的体积,简记;
3 模型的准备
命题1:由和构成的图形的面积

证明:

图1



对附件1数据的处理
无变位进油数据表:将油罐初值跟累加进油量相加得出罐内实际油量;将油位高度的单位转化为米。对于倾斜变位进油的数据也作同样的处理。部分数据见下表,完整数据见附件1。
表:无变位进油数处理后部分数据
油位高度/m









罐内油量/L
312
362
412
462
512
562
612
662
712
表:倾斜变位进油数处理后部分数据
油位高度/m









罐内油量/L









无变位出油数据表:由于无法确切知道罐内的实际油量,但根据出油量跟相应油高的变化,得出罐容对油高的差商。对于倾斜变位出油的数据也作同样的处理。
表:无变位出油数处理后