函数对称性周期性和奇偶性的规律总结(全).doc

函数对称性、周期性和奇偶性规律同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)周期性:对于函数,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有都成立,那么就把函数叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。对称性定义(略),请用图形来理解。对称性:我们知道:偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的探讨:(1)函数关于对称也可以写成或简证:设点在上,通过可知,,即点上,而点与点关于x=a对称。得证。若写成:,函数关于直线对称(2)函数关于点对称或简证:设点在上,即,通过可知,,所以,所以点也在上,而点与关于对称。得证。若写成:,函数关于点对称(3)函数关于点对称:假设函数关于对称,即关于任一个值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于对称,比如圆它会关于y=0对称。周期性:(1)函数满足如下关系系,则A、B、C、或(等式右边加负号亦成立)D、其他情形(2)函数满足且,则可推出即可以得到的周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称,则函数一定是周期函数”(3)如果奇函数满足则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为,根据可以找出其对称中心为(以上)如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为,根据可以推出对称轴为(以上)(4)如果奇函数满足(),则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足(),则函数是以2T为周期的周期性函数。定理3:若函数在R上满足,且(其中),:若函数在R上满足,且(其中),:若函数在R上满足,且(其中),。换种说法:与若满足,即它们关于对称。与关于Y轴对称。换种说法:与若满足,即它们关于对称。与关于直线对称。换种说法:与若满足,即它们关于对称。与关于直线对称。换种说法:与若满足,即它们关于对称。关于点(a,b)对称。换种说法:与若满足,即它们关于点(a,b)对称。与关于直线对称。函数的轴对称:定理1:如果函数满足,:如果函数满足,:如果函数满足,则函数的图象关于直线(y轴),:定理2:如果函数满足,:如果函数满足,:如果函数满足,,、总规律:定义在R上的函数,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在。四、,,且,则的值(A).:形似周期函数,但事实上不是,不过我们可以取特殊值代入,,先用代替,,.,且函数在上单调递增,所以,又由,有,.,如果已经作出大致图象后,:在R上定义的函数是偶函数,,则(B) ,在区间上是减函数 ,在区间上是减函数 ,在区间上是增函数 ,在区间上是增函数分析:由可知图象关于对称,,可得到为周期函数且最小正周期为2,结合在区间上是减函数,,又是周期函数,,则可能为(D) :,,∴,则可能为5,,且当时,.:由推论1可知,的图象关于直线对称,即,同样,满足,现由上述的定理3知是以4为周期的函数.,同时还知是偶函数,.,则,,,…,中最多有(B) :,于是有周期352,,,:已知,,,…,,则(A).A. B. C. :由,知,,.为