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高中高一数学必修1各章知识点总结(4)
第一章集合与函数(4)
(续前)(D)单调性的加减运算法则
①增函数+增函数=增函数;②减函数+减函数=减函数;
③增函数-减函数=增函数;④减函数-增函数=减函数。
注意:①增函数-增函数、减函数-减函数、增函数+减函数、以及两个单调函数通过乘除运算得到的函数的单调性具有不确定性。②运用以上法则的前提是熟悉常见的函数的单调性。
(3)常见函数的单调性
①当时在R上递增,当时在R上递减;
②()当时在上递减,在
上递增;时在上递增,在上递减;
③(为常数)当时在和上均递减,则均递增;
④当时在R上递增,当时在R上递减;
⑤当时在上递增,当在上递减;
⑥在递增,在上递增;
⑦,在上递增,在上递减;
⑧在在上递增;
⑨的单调性与有关。就上而言,当时递增,当时递减。
2、函数的奇偶性
(1)概念一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x)(),那么f(x)就叫做偶(奇)函数.
注意:①函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对称。
(2)几何意义偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
(3)函数奇偶性的判定
(A)根据定义判定步骤:
①确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
②确定f(-x)与f(x)的关系;
③作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:
①函数的定义域关于原点对称,是函数具有奇偶性的必要条件(即前提).首先要看函数的定义域是否关于原点对称,:(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定;
②若奇函数在处有定义,则必有。
(B)判定法则
①奇函数奇函数=奇函数;②偶函数偶函数=偶函数;
③奇函数×(/)奇函数=偶函数;④偶函数×(/)偶函数=偶函数;
⑤奇函数×(/)偶函数=奇函数。
⑥两个具有奇偶性的函数复合起来的复合函数,只有内外层函数均为奇函数时才是奇函数,否则就是偶函数;
⑦最内层的函数是偶函数的复合函数一定是偶函数。
注意:两个不恒为零的奇偶性相反的函数作加减运算得到的函数