MATLAB-ch09(数值计算—线性方程组)20101103.ppt

第9讲数值计算——线性方程组
张建瓴
实际工程、数据分析以及进行理论研究等许多情况下,很多问题都可归结为线性方程组的求解。因而,线性方程组求解的应用非常广泛。
求解线性方程组不可避免地要用到矩阵分解的概念。
本节主要介绍各类线性方程组的解法。
§ 线性方程组的求解
线性方程组可以表示为给定两个矩阵A和B,求X的惟一解,使得:
AX=B或XA=B
在MATLAB中,求解线性方程组时,主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”求解。例如:对AX=B,方程两边同左乘A-1得
A-1AX= A-1B 即得: X=A\B
(1)X=A\B 表示求矩阵方程AX=B的解;
(2)X=B/A 表示求矩阵方程XA=B的解。
对方程X=A\B,要求矩阵A和B有相同的行数,X和B有相同的列数,它的行数等于矩阵A的列数,方程X=B/A同理。
如果矩阵A不是方阵,其维数是n×m,则有:
(1)m=n 恰定方程,寻求精确解;
(2)n>m 超定方程,寻求最小二乘解;
(3)n<m 不定方程,寻求基本解,其中至多有m个非零元素。
【要求】
针对不同的情况,MATLAB将采用不同的算法来求解。
§ 恰定方程组的求解
恰定方程组由n个未知数的n个方程构成,方程有惟一的一组解,其一般形式可用矩阵、向量写成如下形式:
一、恰定方程组的含义
其中:A是方阵,b是一个列向量。
Ax=b
二、恰定方程组的解法
在线性代数教科书中,最常用的方程解法有:
(1)利用cramer公式求解法;
(2)利用矩阵求逆解法,即x=A-1b;
(3)利用gaussian消去法;
(4)利用1u法求解。
一般来说,对于维数不高、条件数不大的矩阵,上面四种解法所得的结果差别不大。
在MATLAB中,求解这类方程组的命令十分简单,直接采用表达式:x=A\b。
【注意】
如果矩阵A是奇异的,则Ax=b的解不存在,或者存在但不惟一;如果矩阵A接近奇异时,MATLAB将给出警告信息;如果发现A是奇异的,则计算结果为inf,并且给出警告信息;如果矩阵A是病态矩阵,也会给出警告信息。
在求解方程时,尽量不要用inv(A)*b命令,而应采用A\b的解法,因为后者的计算速度比前者快、精度高,尤其当矩阵A的维数比较大时。另外,除法命令的适用性较强,对于非方阵的A,也能给出最小二乘解。
“求逆”法和“左除”法解恰定方程的性能对比
【例9-2】
§ 超定方程组的求解
一、超定方程组的含义
对于方程组:
Ax=b ()
式中:A为n×m矩阵,如果A是列满秩的,且n>m。则此方程没有精确解,称方程组()为超定方程组。
二、超定方程的解法
线性超定方程经常遇到的问题是数据的曲线拟合。
(1)对于超定方程,在MATLAB中,利用左除命令(x=A\b)寻求它的最小二乘解;
(2)可以用广义逆来求,即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b,x只是最小二乘意义上的解。
左除的方法是建立在奇异值分解基础之上,由此获得的解最可靠;广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上,其算法可靠性稍逊于奇异值分解,但速度较快。