主讲人孙云龙 07.ppt

第七讲层次分析法
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数学实验
与
数学建模
层次分析模型
问题提出:
人们在日常生活和工作中,常常会遇到在多种方案中进行选择问题。例如假日旅游可以有多个旅游点供选择;毕业生要选择工作单位;工作单位选拔人才;政府机构要作出未来发展规划;厂长要选择未来产品发展方向;科研人员要选择科研课题……
人们在选择时,最困难的就是在众多方案中都不是十全十美的,往往这方面很好,其它方面就不十分满意,这时,比较各方案哪一个更好些,就成为首要问题了。
例1 旅游地选择
某家庭预备“五·一”出游,手上有三个旅游点的资料。
P1 景色优美,但是一个旅游热点,住宿条件不十分好, 费用也较高;
P2 交通方便,住宿条件很好,价钱也不贵,只是旅游景点很一般;
P3 旅游景点不错,住宿、花费都挺好,就是交通不方便。究竟选择哪一个更好呢?
景点
旅游
吃住
费用
交通
P1
P2
P3
在这个问题中,首先有一个目标——旅游其次是选择方案的标准——景点好坏、交通是否方便、费用高低、住宿条件等;第三个是可供选择的方案。
基本原理
层次分析法(AHP)是一种决策分析的方法。
定性、定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
20世纪70年代,
基本步骤:
确定层次→递节层次结构
最上层——目标层
中间层——准则层
最下层——方案层
景点
旅游
吃住
费用
交通
P1
P2
P3
构造两两比较矩阵
定性→量化: 两两比较
C1
O
Ci
Cj
Cn
某层 n 个元素
上层元素
取元素 Ci, Cj 比较
→量化 aij → Ci, Cj 对 O 的权重
比较下层元素对上层元素的影响
比较尺度: aij
1 同等 3 稍强 5 强 7 很强 9 绝对强
中间值 2 4 6 8 且 aji=1/aji
两两比较矩阵
A=(aij)n×n
也称为正互反矩阵。
如例1 建立层次分析模型:
第二层对第一层进行 C52=10 次比较
例: P1:P2=3 P2:P4=2
另: 可推得: P1:P4=6
但: P1:P4=5
说明什么?
景点
旅游
吃住
费用
交通
P1
P2
P3
这一点称为比较判断矩阵的不一致性
理论分析
i与j比较
j与k比较
i与j比较
A=(aij)n×n :
aij × ajk = aik
一致性矩阵
一致性指标
-------允许范围
否
aij × ajk ≈ aik
计算权重向量
由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重, 并进行判断矩阵的一致性检验
若元素 C1, C2,……, Cn对 O 的重要性量化比较→权重
令其为( w1, w2, ……, wn )
则: 比较矩阵为
C1
O
Ci
Cj
Cn
A=(aij)n×n :
aij×ajk≈aik
计算权重向量( w1, w2, ……, wn )
? 一致的
特点: R(A) = 1 , = n
任意列向量对应于 n 的特征向量 W
即: AW = n W ←特征值、向量定义
于是得: 计算权向量方法
计算权向量方法
特征根法
求 A 的最大正特征根
求 A 的对应于的特征向量( w1, w2, ……, wn )
注:
线性代数第五章
Maple命令:
调入系统
with(linalg)
矩阵输入
matrix(m,n,[a11,a12,…a1n,
a21,…a2n,…,am1,…,amn])
特征值、向量
eigenvects(A)