第4章 根轨迹分析法.ppt

第4章根轨迹分析法
内容提要

绘制根轨迹的基本规则

:激光操纵控制系统
小结
根轨迹MATLAB的实现
内容提要:
根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法,使用十分简单,特别在进行多回路系统分析时,用根轨迹法比用其他方法更为方便,因此在工程实践中获得了广泛应用。本章首先介绍根轨迹的基本概念,然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则,在此基础上介绍控制系统的根轨迹分析方法。最后介绍用MATLAB软件如何解决根轨迹的绘制、分析和校正等问题。

根轨迹所要解决的问题,也是系统控制过程的性能分析和计算。
由于控制系统的稳定性由闭环极点唯一确定,而手工求解高阶系统特征根及响应异常困难,限制了时域分析法在二阶以上控制系统的全面应用。伊文思()根据反馈系统中开环与闭环传递函数的本质联系,提出了直接由开环传递函数判断闭环特征根的新方法,即根轨迹法,从而较好地解决了高阶系统平稳性、快速性、稳态误差的分析及性能指标的估算。
根轨迹的概念
根轨迹法是分析、设计线性定常系统的一种简便的图解法,也是古典控制理论解决问题的基本方法之一。所谓根轨迹是指当系统中某个或几个参数变化时(通常由零变到无穷大),闭环特征的根在s平面上变化的轨迹。
下面以如图4-1-1所示的二阶系统说明什么是根轨迹.
系统开环传递函数
C(s)
R(s)
图 4-1-1 二阶系统结构图
式(4-1-1)中k=2K。该式是根轨迹法常用传递函数的标准形式。
开环有两个极点
开环没有零点
系统的闭环传递函数为
则闭环特征方程为
解上方程得闭环特征根(亦即闭环极点)为
令k从变化,则k和系统闭环极点有如下关系:
1)当k = 0时, 此时闭环极点就是开环极点。
(2)当时, 、均为负实数,且位于负实轴的一段上。
(3)当k = 1时, = = ,两个负实数闭合极点重合在一起。
(4)当时, ,两个闭环极点变为一对共轭复数极点。、的实部不随k变化,其位于过点且平行于虚轴的直线上。
(5)当时, 、,此时、将趋于无限远处。
综合上述情况,当k从变化时,所示控制系统的闭环极点在s平面上移动的根轨迹如图4-1-2所示。该轨迹是连续变化的,且有两条分支,终点均在无穷远处。这就是该系统的根轨迹。
图4-1-2的根轨迹图不但清晰的表示了参数k变化时,闭环极点所发生的变化以及对闭环极点分布的影响;而且还能直观的对系统的动态性能进行全面的分析或评述。
有了系统根轨迹图,就可以对系统的动态性能和稳态性能进行如下分析:
图4-1-2二阶系统根轨迹
(1)根轨迹增益k由零变化到无穷大时,根轨迹均在s平面的左半部,因此,系统对所有的k值都是稳定的。
(2)当0<k<1时闭环特征根为实根,系统呈过阻尼状态,其跃阶响应为非周期过程。
(3)当k=1时,系统为临界阻尼状态。
(4)当k>1时,闭环特征根为共轭复根,系统呈欠阻尼状态,其越界响应为衰减的振荡过程。
(5)开环传递函数有一个位于坐标原点的极点,所以系统为I型系统,其跃阶作用下的稳态误差为零。
由述分析过程可知,通过系统的根轨迹图,可以很方便的对系统的动态性能和稳态性能进行分析。不足之处是用直接解闭特征方程根的办法,来绘出系统的根轨迹图,这对高阶系统将是很繁重和不现实的。为了解决这个问题,下一节将依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系,通过开环传递函数直接寻找闭环根轨迹。
根轨迹方程
一般闭环系统框图如图4-1-3所示。系统的开环传递函数为
,闭环传递函数为
闭环特征方程为
即
满足方程4-1-1的s的值,都必须是根轨迹上的点,故称式(4-1-1)为根轨迹方程。根轨迹方程也即为闭环特征方程。
(4-1-1)
将式改成
(4-1-2)
(4-1-3)
其中式(4-1-2)为负反馈根轨迹方程,称1800根轨迹;而式(4-1-3)为正反馈根轨迹方程,称00根轨迹。
以负馈根轨迹为例,绘制根轨迹实质上是寻求闭环特征方程的根,亦即是寻求满足根轨迹方程式s的值。因此,由式(4-1-1)两边幅值和相角分别相等的条件,可得
(4-1-4)
(4-1-5)
及
式中,k=0, , ....。我们把式(4-1-4)、式(4-1-5)分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件,或称幅值方程或相角方程,他是绘制根轨迹的重要依据。凡在s平面的任一点,如果能满足上述的幅值条件和相角条件,就是系统特征方程式的根,该点就必定在根轨迹上。
假设开环传递函数中有m个零点,n个极点,将根轨迹方程(4-1-1)式写成零、极点的标准形式,有
式中——根轨迹增益; 、——开