第八章刚性方程组及其数值计算
武汉大学数学与统计学院
考虑如下线性常微分方程组:
其中
这里矩阵M的特征值为
上述初值问题的精确解是:
显然当
时解的各个分量
是指数衰减的,并趋于稳态解
趋于稳态解
的速度是
由因子
决定的.
假如试图利用四级Runge-Kutta方法求解上述初值问题,:
:
:
而实际上
后
已经不起作用了!!!
往后的计算我们当然希望使用大步长!但由于稳定性要求,,并且误差积累的影响也随着计算步数的增加越来越严重.
N是计算步数
上述例子中,系数矩阵的特征值虽然都是负数,但绝对值相差非常悬殊.
考虑n维非线性常微分方程组
设
是(1)定义在[0,T]上的解,并满足
现用
表示(1)在
附近的解,
则
应满足
(1)在
处的线性化方程
记矩阵
的特征值为
若条件
称解
为局部稳定,否则是不稳定的.
定义:设
是方程组(1)的一个解.
假定相应Jacobi矩阵
的特征值满足(3),并且
则称(1)在
附近为
刚性方程组.
刚性比
刚性方程组的解
快变部分
慢变部分
一般地说,隐型方法比显型方法具有更大的绝对稳定区域,因此使用隐型方法求解刚性方程组更为合适.
隐型Runge-Kutta方法
Adams内插方法
幻灯片放映结束!
O(∩_∩)O谢谢大家耐心观看!
刚性方程组及其数值计算 来自淘豆网m.daumloan.com转载请标明出处.
