第五章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、,则方向余弦设与轴的夹角分别为,则方向余弦分别为点乘(数量积),为向量a与b的夹角叉乘(向量积)为向量a与b的夹角向量与,都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的投影平面直线法向量点方向向量点方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式一般式点法式点向式三点式参数式截距式两点式面面垂直线线垂直面面平行线线平行线面垂直线面平行点面距离面面距离面面夹角线线夹角线面夹角空间曲线切向量切“线”方程::法平“面”方程:切向量切“线”方程:法平“面”方程:空间曲面:法向量切平“面”方程:法“线“方程:或切平“面”方程:法“线“方程:第六章多元函数微分法及其应用基本概念距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。多元函数:,:连续:偏导数:方向导数:其中为的方向角。梯度:,则。全微分:设,则性质函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)微分法定义:复合函数求导:链式法则若,则,隐函数求导:两边求偏导,然后解方程(组)应用极值无条件极值:求函数的极值解方程组求出所有驻点,对于每一个驻点,令,,,若,,函数有极小值,若,,函数有极大值;若,函数没有极值;若,不定。条件极值:求函数在条件下的极值令:———Lagrange函数解方程组几何应用曲线的切线与法平面曲线,则上一点(对应参数为)处的切线方程为:法平面方程为:曲面的切平面与法线曲面,则上一点处的切平面方程为:法线方程为:第七章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分平面薄片的质量质量=面密度面积利用直角坐标系X—型Y—型P94—例1、2、4P106—3、4(2)利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段);(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含,为实数)P100—例5P103—例8P107—7、8(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时,(关于x轴对称时,有类似结论)P106—5应用该性质更方便计算步骤及注意事项画出积分区域选择坐标系标准:域边界应尽量多为坐标轴,被积函数关于坐标变量易分离确定积分次序原则:积分区域分块少,累次积分好算为妙确定积分限方法:图示法先积一条线,后扫积分域计算要简便注意:充分利用对称性,奇偶性三重积分空间立体物的质量质量=密度面积利用直角坐标投影P111—例1;P117—2(1)P111—例2;P117—2(2)利用柱面坐标相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单;—例3;P117—2(3,5)(3)利用球面坐标适用范围:积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如,球体,,P116—例5、6(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性P113—例4;P117—2(5)第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分曲形构件的质量质量=线密度弧长参数法(转化为定积分)(1)(2)(3)P137-例1、2、3平面第二类(对坐标的)曲线积分变力沿曲线所做的功参数法(转化为定积分)P141-例1、例2、例3(2)利用格林公式(转化为二重积分)条件:①L封闭,分段光滑,有向(左手法则围成平面区域D)②P,Q具有一阶连续偏导数结论:应用:P155-1(3)利用路径无关定理(特殊路径法)等价条件:①②③与路径无关,与起点、终点有关④具有原函数(特殊路径法,偏积分法,凑微分法)P152-例3\4\5(4)两类曲线积分的联系P143—例5空间第二类(对坐标的)曲线积分(1)参数法(转化为定积分)P143—例4P177—4变力沿曲线所做的功(2)利用斯托克斯公式(转化第二类(对坐标的)曲面积分)条件:①L封闭,分段光滑,有向②P,Q,R具有一阶连续偏导数结论:应用:第一类曲面积分曲面薄片的质量质量=面密度面积投影法:投影到面类似的还有投影到面和面的公式P158-例1、例2第二类(对坐标的)曲面积分流体流向曲面一侧的流量(1)投影法:,为的法向量与轴的夹角前侧取“+”,;后侧取“”,:,为的法向量与轴的夹角右侧取“+”,;左侧取“”,:,为的法向量与轴的夹角上侧取“+”,;下侧取“”,P167-例1;P168—1\2(2)高斯公式右手法则取定的侧条件:①封闭,分片光滑,是所围空间闭区域的外侧②P,Q,R具有一阶连续偏导数结论:应用:P170-例1、例2(3)两类曲面积
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