大学高等数学经典课件10-5.ppt

第五节对坐标的曲面积分
在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量,即流量φ
下面我们讨论一个例子,然后引进对坐标的曲面积分的概念.
流向曲面一侧的流量
v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 给出,
Σ是速度场中的一片有向曲面,函数P(x,y,z)
,Q(x,y,z),R(x,y,z)都在Σ上连续,求
设稳定流动(即流速与时间t无关)的不可压缩流体
(假定密度为1)的速度场由
n
v
θ
A
A
x
v
θ
A
n
A
.
如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域,且流体在
这闭区域上各点处的流速为常数v,设n为该平面的单位法
向量,那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底
面积为A,斜高为|v|
当θ<900时,斜柱体的体积为 A|V|cosθ=Av·n如上图
如果θ>900时,它单位法向量是负的, v·n也是负的,所以
看成平面)流速也近似看成常向量处理.
现在对于上面的讨论,我们引进对坐标的曲面积分的概念
现在我们考虑的问题不是平面闭区域而是一片曲面,且
流速不是常向量,所以要求把曲面分割为小的曲面(近似
对坐标的曲面积分的概念与性质
双侧曲面
假定曲面是光滑的,通常我们遇到的曲面都是双侧的.
如果用z=z(x,y)表示的曲面,有上侧, 下侧之分.
如果用x=x(y,z)表示的曲面,有前侧, 后侧之分.
如果用y=y(x,z)表示的曲面,有左侧, 右侧之分.
一张包围某一空间区域的闭曲面,有外侧,内侧之分;
在讨论对坐标的曲面积分时,需要指定曲面的侧,我们通过曲面上的法向量的指向来定出曲面的侧
有向曲面:
可通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧;我们称为有向曲面.
例如:z=z(x,y)如果取法向量n的指向朝上,则取定曲面的上侧.
又例如:对于闭曲面,如取法向量的指向朝外,则认定
曲面的外侧.
x
y
z
规定Δs在xoy平面上的投影(Δs)xy为

设Σ为有向曲面,在Σ上取一小块曲面Δs,把
Δs投影到xoy面上得一投影区域,此投影区域的
面积记为(Δσ)xy,假定Δs上各点处的法向量与
z轴的夹角γ的余弦cosγ有相同的符号
(Δs)xy=
(Δs)xy=
(Δs)xy实际上就是Δs在xoy平面上的投影区域的面积附以一定的正负号;
类似地可以定义Δs在yoz平面及zox平面上的投影(Δs)yz及(Δs)zx
,设S上每一点(x,y,z)处沿指定侧的单位法线向量为
又设向量函数
其中P,,则函数
在S上的第一类曲面积分
称为向量函数A(x,y,z)沿定侧曲面S的第二类(或对坐标的)
·dS为有向面积元素,它在xoy,yoz,zox坐标
面上的投影分别为
从这里可知,第二类曲面积分是由第一类曲面积分变化而来的.