矢量分析与场论第一讲.pptx

第一章矢量分析§1、矢性函数矢性函数在数学里称作向量值函数,他是通常函数概念的推广定义:映射f:RnD→Rm,x→y=f(x)若设: f(x)=(f(x)1,f(x)2,…f(x)m)我们看到向量值函数无非是若干个多元函数一起考虑而已,一点都不神秘n=m=1 通常的函数(一元函数)n≧2,m=1 通常的多元函数如代数中的内积,外积,行列式n=1,m=2 平面曲线n=1,m=3 空间曲线n=m=2 平面的坐标变换如xy=1为何是双曲线?n=m=3 空间的坐标变换n=2,m=3 空间曲面所以向量值函数这个概念包含有大量的信息,把到目前为止学过的大部分内容都包括进去了,我们也说上面的向量值函数是D上的一个场特殊情形或写成:x=Rcosωt,y=Rsinωt,z=at螺线方程摆线方程或写成:x=R(ωt-sinωt),y=R(1-cosωt)极限的定义若为D的一个聚点,Rm为常数向量,若当时称c为f当x趋近与a时的极限记作设则上面的定义等价于连续的定义若则f在a连续由定义推知,f连续指定的每个分量都连续下列极限等式成立其中u为数量函数,f,g为向量函数§2、向量函数的导数与微分设有向量函数y=f(x),xD,若有m×n常数矩阵A使f(x)=f(a)+A(x-a)+O(|x-a|)其中O(|n-a|)={O1(|x-a|),…Om(|x-a|)}每个Oi(|x-a|)都是|x-a|当x→a时的无穷小,称f在a点可微,A为f在a处的导数,通常称为jacobian矩阵称df=Adx为f在a处的微分链式法则:设有两个向量值函数则特别的,如g=f-1,则易算得 D(id)=E固有 D(f-1)=(Df)-1例题1计算二重积分其中区域D由y=x,y=2x,xy=1,xy=3所围解:则变换的Jacobi行列式