导数常用的一些巧和结论.doc

导数常用的一些技巧和结论(2017年全国新课标1·理·21)已知.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,:(1)若,则恒成立,所以在R上递减;若,令,,,所以在上递减;当时,,,当时,在R上递减;当时,在上递减,在上递增.(2)有两个零点,必须满足,即,,.易得,,,有两个零点即可,为此我们先证明当时,.事实上,构造函数,易得,∴,所以,,,,其中,,:取点过程用到了常用放缩技巧。一方面:;另一方面:时,(目测的)常用的放缩公式(考试时需给出证明过程)第一组:对数放缩(放缩成一次函数),,(放缩成双撇函数),,,,(放缩成二次函数),,(放缩成类反比例函数),,,,,第二组:指数放缩(放缩成一次函数),,,(放缩成类反比例函数),,(放缩成二次函数),,第三组:指对放缩第四组:三角函数放缩,,.第五组:以直线为切线的函数,,,,.几个经典函数模型经典模型一:或.【例1】讨论函数的零点个数.(1)时,无零点.,.(2)时,1个零点.,.(3)当时,2个零点.(目测),,其中.(放缩).,其中.(用到了)(4)当时,1个零点.,单调递增.,.【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例1:):(令,);(令);(考虑);(考虑,令,);(令,);(令).经典模型二:或【例2】讨论函数的零点个数.(1)时,1个零点.,,,所以在上有一个零点;(2)时,;(3)时,无零点.;(4)时,2个零点.,,.【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2:):(令,);(去分母后与1等价);(移项平方后与1等价);(移项开方后换元与1等价);(乘以系数e,令);(令,转化成2)(令,);经典模型三:或【例】讨论函数的零点个数.(1)时,1个零点.,单调递增.,.(2)时,1个零点().(3)时,无零点.,(4)时,1个零点..(5)时,2个零点.,,,【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3:):;