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目标规划
§1 目标规划的数学模型
为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题的方法上的区别,先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模型。
某工厂生产I,II两种产品,已知有关数据见下表
I II 拥有量
原材料 kg 2 1 11
设备 hr 1 2 10
利润元/件 8 10
试求获利最大的生产方案。
解这是一个单目标的规划问题,用线性规划模型表述为:


最优决策方案为:元。
但实际上工厂在作决策方案时,要考虑市场等一系列其它条件。如
(i)根据市场信息,产品I的销售量有下降的趋势,故考虑产品I的产量不大于产品II。
(ii)超过计划供应的原材料,需要高价采购,这就使成本增加。
(iii)应尽可能充分利用设备,但不希望加班。
(iv)应尽可能达到并超过计划利润指标56元。
这样在考虑产品决策时,便为多目标决策问题。目标规划方法是解决这类决策问题的方法之一。下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念。
正、负偏差变量
设为决策变量的函数,正偏差变量表示决策值超过目标值的部分,负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分,这里表示的目标值。因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值,即恒有。
绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束;如线性规划问题的所有约束条件,不能满足这些约束条件的解称为非可行解,所以它们是硬约束。目标约束是目标规划特有的,可把约束右端项看作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏差,因此在这些约束中加入正、负偏差变量,它们是软约束。线性规划问题的目标函数,在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。如:例1的目标函数可变换为目标约束。绝对约束可变换为目标约束。
优先因子(优先等级)与权系数
一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时,是有主次或轻重缓急的不同。凡要求第一位达到的目标赋于优先因子,次位的目标赋于优先因子,并规定。表示比有更大的优先权。以此类推,若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别,这时可分别赋于它们不同的权系数,这些都由决策者按具体情况而定。
目标规划的目标函数
目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先因子而构造的。当每一目标值确定后,决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因此目标规划的目标函数只能是。其基本形式有三种:
(1)要求恰好达到目标值,即正、负偏差变量都要尽可能地小,这时

(2)要求不超过目标值,即允许达不到目标值,就是正偏差变量要尽可能地小,这时

(3)要求超过目标值,即超过量不限,但必须是负偏差变量要尽可能地小,这时

对每一个具体目标规划问题,可根据决策者的要求和赋于各目标的优先因子来构造目标函数,以下用例子说明。
例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑:首先是产品II的产量不低于产品I的产量;其次是充分利用设备有效台时,不加班;再次是利润额不小于56元。求决策方案。
解按决策者所要求的,分别赋于这三个目标优先因子。这问题的数学模型是
目标规划的一般数学模型为


建立目标规划的数学模型时,需要确定目标值、优先等级、权系数等,它都具有一定的主观