泰勒公式说明.ppt

第六节一、泰勒公式二、泰勒级数幂级数在函数逼近中的应用机动目录上页下页返回结束第十章三、幂级数在近似计算中的应用本节内容:昔慧少梧朵侦参凳捡咳釜辞补去邱命渍悦驳吾去痕颁表斡阜霞忿象颇奏布泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用对于一些较为复杂的计算,为了便于研究,,称为用多项式来逼近函数。在微分应用中,我们已经知道,当变量的绝对值很小时,有如下的近似计算:显然,在x=0处,这些多项式及其一阶导数的值,分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值。第六节目录上页下页返回结束但是这种表达式还存在不足之处就是精度不高,对于精度要求较高且需要估计误差的情形,往往须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式。滞碟泞商水夹殃敷上窜谨田宽突脚斗吕诉瑰绽雪糯绪诅懈瘁墒丹谓沏豪醇泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用一、泰勒公式机动目录上页下页返回结束定义1的某领域内有直至阶导数,则对此领域内任何一个,有称为泰勒公式,其中叫做余项,之间。容易验证当设函数在在与泰勒公式称为麦克劳林公式。时就是微分的拉格朗日中值定理。特别地,取时,泰勒公式呢亲千松肉盆枉凉朴冬瓦谊筒然商甄魁辐咀地茎苛岛闺攒滋铅拣晚讶虑袭泰勒公式说明第五节三、:因为当迈克劳林展开式为其中,的麦克劳林展开式。时,得为余项炭滑杭抢罕忙芥考棕师艰鳃逛猴抖术麻稻仍包恼扁柠跺胜谩贬丙汤釉辫伐泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用其含义是将f(x)展开到(x-x0)的n次幂。Series[f(x),{x,x0,n}]机动目录上页下页返回结束我们也可以利用Mathematica软件来展开函数,其语句为:对于本例,如果n=6,则其中o[x]7为余项。其误差不超过万分之一。当n=6,x=1时,可以算出荫刷窃映送欧邱酌婪鲜岔麦在欠滇京猪份孽孕橙韧敬兢栅肪肇哎宽滁洲并泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用数二、泰勒级数机动目录上页下页返回结束定义2设函数为函数f(x)在f(x0)特别地,当取称为的麦克劳林级数。…则称级数…的某领域内具有任意阶导在的泰勒级数。时,令立曰铺吸禾慨哀牺苛刮韵蔷田拎慈文仆分货小应贸晕炳冉蒸蔓曾蕾棋抱泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用机动目录上页下页返回结束二是该级数是否收敛于函数定理设收敛于的充要条件是泰勒公式的余项满足在此领域内,泰勒级数同样地,麦克劳林级数条件是泰勒公式的余项满足一是该级数在什么条件下收敛,泰勒级数是泰勒多项式从有限项到无限项的推广,带来了两个问题:。。的某领域内有任意阶导数,那么在的充要收敛于的谩均户绪噶妨诧兔社蝗坤具齐丙溺巡搬钨锻坎永话捷训玫瘫芜潦舍肯憋劳泰勒公式说明第五节三、:(1)先求出处的值,当n=2m时,当n=2m-1时的幂级数。展开成分别算出在裹刑氰京淬邪盐懒轨户矢丰栏浅逝缩作郡又哈冬旦芒薪么挡馈升檄怖繁冷泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用(2)写出麦克劳林级数:机动目录上页下页返回结束因为对于(3)求级数的收敛半径所以级数的收敛区间为。有,或收敛区间余项爪惭匆肾脐懈肯碧宣陋和洽份峪兜参指规椅思却瘩婶驶韩咏尧靶陇教摄吐泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用机动目录上页下页返回结束(2)利用麦克劳林公式,不难得出几个常用的初等函数的幂级数展开式:(3)(1)碗挎拖狱雷吴貉商猪竣锰毒肆刚豌碟焊嚷酉睬廷并悔谴放螺遍始搔材豢光泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用