高等数学-极值与最值 2-课件·PPT.ppt

二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
第五节
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函数的极值与
最大值最小值
第三章
一、函数的极值及其求法
定义:
在其中当
时,
(1)
则称为的极大点,
称为函数的极大值;
(2)
则称为的极小点,
称为函数的极小值.
极大点与极小点统称为极值点.
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注意:
为极大点
为极小点
不是极值点
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
不存在的点.
1) 函数的极值是函数的局部性质.
例如(P146例4)
为极大点,
是极大值
是极小值
为极小点,
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定理 1 (极值第一判别法)
且在空心邻域
内有导数,
(1)
“左正右负”,
(2)
“左负右正”,
(自证)
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例1. 求函数
的极值.
解:
1) 求导数
2) 求极值可疑点
令
得
令
得
3) 列表判别
是极大点,
其极大值为
是极小点,
其极小值为
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定理2 (极值第二判别法)
二阶导数, 且
则在点取极大值;
则在点取极小值.
证: (1)
存在
由第一判别法知
(2) 类似可证.
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例2. 求函数
的极值.
解: 1) 求导数
2) 求驻点
令
得驻点
3) 判别
因
故为极小值;
又
故需用第一判别法判别.
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定理3 (判别法的推广)
则:
数, 且
1) 当为偶数时,
是极小点;
是极大点.
2) 当为奇数时,
为极值点, 且
不是极值点.
当充分接近时, 上式左端正负号由右端第一项确定,
故结论正确.
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证:
利用在点的泰勒公式,
可得
例如, 例2中
所以
不是极值点.
极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.
说明:
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在.
例如:
为极大值,
但不满足定理1
~ 定理3 的条件.
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二、最大值与最小值问题
则其最值只能
在极值点或端点处达到.
求函数最值的方法:
(1) 求在内的极值可疑点
(2) 最大值
最小值
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