多维分割论2.doc

第四届全国初等数学学术交流会交流论文一一以几何原理可一《多维分割论》之二——论平面对空间的分割祝有韬湖北省安陆市第二高级中学邮编:432600以直线间相交所得“交点个数”为线索圆满解决了平面区域划分问题后现在我们再以平面间相交所得“交线条数和顶点个数”:空间中有个平面,其中任两个不平行,凡两两相交者交线不平行,任四个不共点,任三个不共线.(为简便起见,本文称同时满足此四条为满足“最强条件”).求其分割空间所得区域个数解:数列其一阶差列为其二阶差列为成等差数列,即有进而得公式1:定理(几何原理):空间内满足最强条件的个平面将空间分割成的区域个数等于这些平面产生的交点个数与包括一个巨球面(可视为一个“平面”——“无穷远面”)在内的+,∈N时命题恒成立.(注:事实上时,命题也成立,问题2:空间个平面中,凡两两相交者其交线不平行,无四面共点,无三面共线,但求其分割空间所得区域个数解:显然与满足最强条件时相比,交线条数减少了,顶点个数减少了,故依“几何原理”知,空间区域的个数减少了则得公式2:)问题3:空间组分别有),求其分割空间所得区域个数解:显然这时交线条数未变,而各两两相交的交线平行组中每三个面少产生了一个顶点,即顶点个数减少了“依几何原理”得公式3:问题4:空间个平面中,无二面平行,凡两两相交者其交线不平行,无三面共线,:从只一组共个区域(这里不妨增加它是以为递归方程,为初始值的数列,有图1然后逐一增加,考虑另外个平面加入后的情形,有①…………个区域,∴空间增加了经组合数的恒等变形得公式4:割解,即有公式4′:(注②:式请参考(*)式理解成个共点组的分割解):空间其余(包括组内不同组中的平面间)皆满足“最强条件”,,故加入平面故有再经组合数的运算,得公式5:它也符合”几何原理”,其中个半面与个面后交线和顶点的增量.⑵再考虑有推导出其差式形式的等价式!公式5′:经推广则得问题5的一般解问题6:组分别有其余(包括取自各平行组,两两相交交线平行组,共点组和共线组等不同组中的平面间)皆满足“最强条件”,求这个平面分割空间所成区域的个数显然依上述问题1至5进行综合极易得到公式6:以上问题1至5为单纯型,问题6为综合独立型,还有一类问题我们称其为综合相关型,即:问题7:在问题6中仅其条件⑤不满足,即任意取自不同组中的平面间不能全满足“最强条件”,亦即至少存在一个平面,它是“身兼数职”元,,它无规律可循,只有通过适当的方法将其转化为问题6解决之,即先将诸“身兼数职”元全部抽出待计算出除它们外的元的分割解后,再逐一将诸“身兼数职”元加入,计算出因其加入所致的交线条数和顶点个数的总增量则为所求,也可视情况采用各种灵活的方法处理(见后面有关诸例).公式6是万能公式,而公式1至5则分别是其当全为零或顺次有一个非零,:对正方体作一截面,问截面及正方体各面所在平面将空间最多分割成几部分?解::图2例3如图,过四棱台底面的一边作截面,:问题中平面的个数虽然不多,但有1组四面共点,有1组二面平行,有一组三面共线,还有几个交线平行组,面既是平行组的元,又是交线平行组的元,还是共线组的元,还有几个“身兼数职”的元,且要考虑截面过与否,:先去掉二底面及截面,(平行组)后增加了2×9=18个部分,最后补进截面时:若截面不经,则截面被它与各面的交线分割成当截面经时,截面被其与各面的交线分割成例4恒成立证明:原等式等价于而后式两端刚好是问题“一组平行平面共个平面分割空间所得区域个数“的解的两种表达式,故该等式恒成立.(注:诸如本例的组合恒等式用类似本例的方法我们能找出许多个!(包括平面在内)将空间分割成多少个区域?解:①其余皆不存在二线平行和三线共点的,故由个平面构成五个三面共线,其余皆满足“最强条件”:解法1:解法2:,个面积无限大的区域最后回头考虑作为高中生必须熟练掌握的最简单最基本的情形举下例::四个平面在空间的位置关系共有13种(详见直观图),并可作如下的分类:存在