函数单调性(理).doc

§:.对于函数的定义域I内某个区间上自变量的任意两个值。⑴若当<时,都有<,则说在这个区间上是增函数;⑵若当<时,都有>,,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性, 证明函数单调性的一般方法:①定义法用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是:⑴设,是给定区间内的任意两个值,且<;⑵作差-,并将此差式变形(要注意变形的程度,一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出);⑶判断-的正负(要注意说理的充分性);⑷根据-的符号确定其增减性.②用导数证明:若在某个区间A内有导数,则在A内为增函数;在A内为减函数3 求单调区间的方法:定义法、导数法、,如果在区间上是具有单调性,当时,,且在区间上也具有单调性,则复合函数在区间具有单调性的规律见下表:增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.疑难点、:一是先求定义域,单调区间是定义域的子集。如若函数在区间上为减函数,求的取值范围(答:);二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”;三是单调区间应该用区间表示,。(①比较大小;②解不等式;③求参数范围).如已知奇函数是定义在上的减函数,若,求实数的取值范围。(答:):①在解答题中常用:定义法(取值――作差――变形――定号)、导数法(在区间内,若总有,则为增函数;反之,若在区间内为增函数,则,请注意两者的区别所在。如已知函数在区间上是增函数,则的取值范围是____(答:));②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为,(1)若函数在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数的取值范围是______(答:));(2)已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围_____(答:);(3)若函数的值域为R,则实数的取值范围是______(答:且));③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减。如函数的单调递增区间是________(答:(1,2))。3一些有用的结论:①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反;③在公共定义域内:增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数减函数是增函数;::设则∵∴,,∴即(注:关键的判断)∴:本题用的是定义法,注意按定义法的步骤进行:取值――作差――变形――定号。,是上的偶函数。(1)求的值;(2)证明在上为增函数。解:(1)依题意,对一切,有,即∴对一切成立,则,∴,∵,∴。(2)解法一:(定义法)设,则,由,得,,∴,即,∴在上为增函数。解法二:(导数法)∵,∴∴在上为增函数。举一反三:讨论函数在(0,+):设,是(0,+)上的任意两个实数,且<,则-=-()=,由,∈(0,+),得,,(1)当时,于是->0,即>∴在(0,上是减函数.(2)当时,于是-<0,即<∴.(1)求函数的单调区间;(2)已知若,试确定的单调区间和单调性。解:(1)函数由函数与复合而成,由解得,因外函数在上单调递减,内函数在上递减,在上递增,由复合函数单调性规律可得所求复合函数的单调减区间为:单调增区间为。(2),,令,得或,令,或∴单调增区间为;单调减区间为锦囊妙计:(1)在求函数的单调区间时,勿忘先求定义域,单调区间一定是定义域的子区间。(2)当函数是高次多项式时,用导数法求单调区间更快捷。(3)这里不能用“”将两个递增(减)区间“并”在一起,必须用逗号隔开。举一反三:若函数f(x)=,则该函数在(-∞,+∞)上是(A)(A)单调递减无最小值(B)单调递减有最小值(C)单调递增无最大值(D)=log(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是()A(0,1)B(1,2)C(0,2)D[2,+∞)思路分析:本题有多种解法,但不管哪种方法,都必须保证:①使log(2-ax)有意义,即a>0且a≠1,2-ax>0②使log(2-ax)在[0,1]上是x的减函数由于所给函数可分解为y=logu,u=