n阶幻方的同心方阵构造法.doc

n阶幻方的同心方阵构造法本文根据n阶幻方的定义,首先利用线性方程组的理论证明了:利用同心方阵的办法可以构造出任意阶幻方,进而结合幻方的特点,给出了n阶幻方的具体构造方法. 一同心方阵构造法定义;将自然数1,2,3…n2排成n行n列的方阵,若每行每列及每条对角线上的n个数字的和皆为常数,,就依n阶幻方为基础,在四周加上一层框子,即在第一行的上边,在第n行的下边,各加上一行,在第一列的左边,在第n列的右边,+2阶方阵,新的n+2阶幻方的中间部分是一个n阶幻方,它是由原来的幻方的各元素分别加上2n++2阶幻方的外围部分(即第一行,第n+2行,第一列,第n+2列所形成的正方形框子)是由数1,2,3,…中的前2n+2个数,及后2n+2个数,按照下述要求构成的(1)使正方形各边上的n+2而数的和等于n+2阶的幻方常数k.(2)使正方形上下两边,左右两边相对元素的和,+,四阶阶幻方见[1].我们以三阶,四阶幻方为基础,根据本文所给出的方法,可以构造出任意阶幻方. 二同心方阵构造法的理论基础根据同心方阵构造法得到以下4n+4个未知数2n+6个线性方程构成的线性方程组(令)(其中H为幻方常数)这个线性方程组与常数项组成的增广矩阵如下:利用线性代数的知识,用矩阵的初等变换,将其化简(具体化简过程从略)成如下形式: 由上面的矩阵可以看出;系数矩阵与增广矩阵的秩相等,;这4n+4个未知数,其中2n+,2,…,中的前面2n+2个数,或从后面2n+,+4个数中选定,其它未知量也必须在这4n++4个未知量与4n+. (n=2m+1)假定2m-1阶幻方已经做出,我们要作2m+,前4m个数字由小到大排序,后4m个数字由大到小排序,两个数列构成一一对应如下:上下两个相对的数的和都等于 (1)中,将排好的4m对数中截取前2m+1对,配置成上下两行,如下:(为方便计记) i=12,……….m,i=1,2,……..m,m+1(2)(2)作如下的调整,把第二行中的1换成1+2m+1,把3换成3+2m+1,…,把2i+1换成2i+1+2m+1,…,把2m-1换成2m-1+2m+1=4m,: 组合左右两列确定四角元素从4m对数中选出2m+1对后,余下2m-1对,组