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定积分背景
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面
“直边图形”的面积;物理中,我们知道匀速直线运动
的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中,
我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边
图形”的面积、变速直线运到物体位移、变力做功的
问题。如何解决这些问题呢?现有知识无法解决,为
此我们需要另寻方法。
接下来我们要学习的定积分,就可以帮助我们解
决这些问题。
引入
x
o
y
图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的,这样的平面图形称为曲边梯形,如何求这个面积呢?
我们曾经用正多边形逼近圆的方法(即“以直带曲”
的思想) 求出了圆的面积,能否也能用直边形(如矩形)
来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢?
a
b
曲边梯形定义
分析
(1)曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面
图形;
(2)曲边梯形与“直边图形”主要区别在于前者有
一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段。
对曲边梯形概念的理解:
曲边梯形定义:
我们把由直线 x = a,x = b (a ≠ b), y = 0和曲
线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。
返回
将区间[0,1]平均分成许多小区间,把曲边梯形拆
分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲”,
即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个
小曲边梯形的面积,对这些近似值求和,就得到曲边
梯形面积的近似值。
可以想象,区间拆分的越细,近似程度就越好,亦即:用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形
的面积。可通过以下几个步骤具体实施:
(1)分割;(2)近似代替(过剩和不足估计值);
(3)逼近。
问题1 图中阴影部分由抛物线,直线
及 x 轴围成的平面图形,试估计这个曲边梯形的
面积 S 。
x
o
y
1
分析
问题2 司机猛踩刹车,汽车滑行 5s 后停下,此过
程中汽车的速度 v 是时间 t 的函数:
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s 。
分析
概括
前面,我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求
曲边梯形的面积的问题,它们的步骤:
分割区间
过剩估计值
不足估计值
逼近所求面积
所分区间长度→ 0
估计值→所求值
试估计由,y = 0,x = 2 所围成的曲边
梯形的面积。
x
y
o
2
动手做一做
* 曲边梯形的定义:
分割区间
过剩估计值
不足估计值
逼近所求面积
* 求曲边梯形面积的步骤:
我们把由直线 x = a,x = b (a ≠ b), y = 0和曲
线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。
小结
结束