平面向量1、向量:既有大小,又有方向的量。向量不能比较大小,只可以判断是否相等,向量的模可以比较大小。数量:只有大小,没有方向的量。数量可以比较大小,也可以判断是否相等。2、有向线段的三要素:起点、方向、,对于模相等且方向相同的两个向量,无论他们的起点在哪里,都认为这两个向量相等。零向量::(共线向量)::、向量既有代数特征又有几何特征,可以起到数形结合的作用。4、向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:共起点.⑶三角形不等式:.⑷运算性质:①交换律:;②结合律:;③.⑸坐标运算(坐标加减):设,,、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设,,、两点的坐标分别为,,、向量数乘运算:⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.①;②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,.⑵运算律:①;②;③.⑶坐标运算:设,则.【向量相等,坐标相同;向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关】7、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,,,其中,则当且仅当时,向量、共线.[练习]设a,b是两个不共线的向量,,若A,B,D三点共线,则实数p的值是对于(均为实数),若A,B,C三点共线,则,反之仍然成立。[练习]如图所示,在中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若,则m+n的值为8、平面向量基本定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使.(不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底)[练习]在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是A,e1=(0,0),e2=(1,2)B,e1=(-1,2),e2=(5,-2)C,e1=(3,5),e2=(6,10)D,e1=(2,-3),e2=(-2,3)【解题】用已知向量表示另外一些向量,除了利用向量加减法和数乘运算外,还充分利用平面几何的一些定理。在求向量时要尽可能的转化到平行四边形或三角形中。常要用到相似三角形对应边成比例,三角形中位线等平面几何的性质。[练习]在中,点M,N满足,则x=,y=2、如图,已知平面内有三个向量,其中的夹角为120度,的夹角为30度,且,则的值为9、分点坐标公式:设点是线段上的一点,、的坐标分别是,,当时,点的坐标是.(当10、平面向量的数量积:⑴.:等于的长度与在的方向上的投影的乘积[练习]已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量方向上的投影为⑵性质:设和都是非零向量①②当与同向时,;当与反向时,;或③.两向量夹角的范围为,求夹角时一定要注意两向量夹角的范围[练习]若非零向量a,b满足,则a与b的夹角为⑶运算律:①;②;③.⑷坐标运算:设两个非零向量,,,则,,,、都是非零向量,,,是与的夹角,则.[练面向量,且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=A,-2B,-1C,1D,2在平
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