n次函数图像的对称性江西省吉安县第二中学(343100)罗章军众所周知,一次函数的图像是中心对称图,二次函数的图像是轴对称图。那么n次函数的图像是否为中心对称或轴对称图呢?本文仅以此问题作一探索。定理:当n为偶数时,若存在x=m使得都成立,则f(x)的图像关于直线对称;当n为奇数时,若存在x=m使得都成立。,则f(x)的图像关于点对称。其中为的阶导数。证明:⑴当n为偶数时,函数的图像关于直线对称(因为对于都成立)⑵当n为奇数时同理可以证明如下:的图象关于点对称综上所述,定理得证。例1:试求三次函数的对称中心。解:因为n=3为奇数,依上面定理只需令即,得,所以的图像对称中心为。例2:试探求四次函数的系数满足什么条件时其图像是轴对称图。解:因为n=4为偶数,依上面定理要使的图像为轴对称图只需,所以,消去可得,据以上分析不难发现次函数图像不一定具有轴对称或中心对称的特点,尤其是四次以上的高次函数只有系数之间满足一定的关系才具有对称性。参考文献祁正明,三次函数对称性。中学数学研究,:13576807717
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