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随机过程与数学建模
吉林大学方沛辰
随机性和确定性是一对矛盾,它们既对立又统一。一般的问题
不是能明确划分的,常常两种性质都有,用不同的假设来处理。

随机型问题的最优化常常是对目标函数的数学期望求最优。
因此首先需要知道概率分布,再写出目标函数的数学期望的表
达式进而解决问题。这里很可能用到求函数的期望。
例题:一个私人牙科诊所很受欢迎,病人络绎不绝。来的有
病名
概率
治疗时间
平均
A
1/2
20分钟
10
B
1/3
30分钟
10
C
1/6
90分钟
15
三种病,,都是早8点挂的号,上午和下午分别挂多少号最适合?
平均看一个病人的时间显然是35分钟,。
大家想过没有,这样将会有一半的时间不能正常吃午饭!
如果6个人都是C病,全看完要9个小时!
那我们应该有什么样的结论呢?好像没什么好做的。真正要解决这个问题就要用到随机过程的理论和方法。
再举一例:豹在逐渐靠近羊的时候是匍匐前进,一旦羊发现了豹开始逃走时豹就起身追赶。假设羊不能发现50米之外的豹,到了15米羊就必然发现豹,怎样描述羊和豹在相距x米时的发现概率。这是一个很让人深思的问题。
从视觉角度看发现一个物体应该和物体的像的面积成正比,
这样概率可看作是x的函数p(x),并且是在15处取1,50处取0,
中间是递减的,进而是x的二次函数。但是注意p(x)不是密度函数,那它是什么呢?

在概率论中学过随机向量(x1,x2,…,xn),相关学过联合分布、边缘
分布、条件分布等概念,一起研究许多个比单个研究方便。
把随机向量的概念推广,一起研究无穷多个随机变量,就是随机过程。注意无穷多有两种:可列多和连续多,对应就有随机序列和随机过程两个概念。有限多和无限多有本质区别。
例1 用x(t,ω)记(0,t)中电话接到的呼叫数。不同的t是不同
随机变量,不同的ω是不同的样本曲线。
例2 用x(t,ω)记微粒在水面布朗运动漂浮时横坐标。
例3 用x(n,ω),n=1,2,…记相互独立同分布的伯努利随机变量序列,取值0和1,相应概率q和p,称为伯努利过程。
取值为0,1,2,…,称为二项计数过程,或随机游动。
例4 用x(n,ω)记第n代生物群体的数量。
定义设{X(t),t>0}是一个随机过程,取定t,X(t)是一个随机变量,它的分布函数
称为X(t)的一维分布函数,相应也有一维概率密度等概念。
定义设{X(t),t>0}是一个随机过程,取定s,t,X(s),X(t)是一
个二维随机变量,它的分布函数
称为(X(s),X(t))的二维分布函数。
定义设{X(t),t>0}是一个随机过程,取定t1,t2,…,tn,
X(t1),X(t2),…,X(tn)是一个n维随机变量,它的分布函数
随机过程的数字特征,对于
称为均值函数;
定义:
称为方差函数;
称为协方差函数;
称为相关函数;
介绍一本教材:研究生教学用书
“随机过程及应用”电子科技大学应用数学学院
陈良均朱庆棠高教出版社
定义:如果对任意的正整数n及任意的t1,t2,…,tn∈T,随机变量X(t1),X(t2),…X(tn)相互独立,称过程是独立过程。

例伯努利过程是独立过程。
定义:如果对任意的正整数n及任意的t1<t2<…<tn,随机过程的增量X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)相互独立,称过程是独立增量过程。
定义:如果独立增量过程对任意的s,t∈T及任意的h>0,随机变量X(t+h)-X(s+h)与X(t)-X(s)有相同的概率分布,称过程是平稳的独立增量过程。
例二项计数过程是平稳的独立增量过程
性质1 如果{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程,X(0)=0,则
(1)均值函数 m(t)=mt, m为常数;
(2)方差函数 D(t)=σ2t, σ为常数;
(3)协方差函数 C(s,t)=σ2min{s,t}。
性质2 独立增量过程的有限维分布由一维分布和增量分布确定。
定义:给定随机过程{X(t),t∈T}如果对任意的正整数n及任意的t1,t2,…,tn∈T,随机变量X(t1),X(t2),…X(tn)的联合概率分布为n维正态分布,称过程{X(t),t∈T}是正态过程(高斯过程)。
定义:如果随机过程{W(t),t∈T}满足下列条件:
(1)W(0)=0; (2)E[W(t)]=0;
(3)具有独立增量; (4)t>0,W(t)~N(0,σ2t),(σ>0)
称{W(t),t∈T}是参数为σ2的维纳过程。
性质1