过江索道的设计.doc

过江索道的设计
摘要
山区的农民过江时使用过江索道,由于设计问题,当滑到终点时速度还很快这将会使造成危险,因此合理设计过江索道和安全过江策略有着重要的现实意义,本文根据题目所给的条件和要求,分别建立了三个数学模型,求出对应的过江索道和安全过江策略。
对于问题一:不考虑钢索的重量,如果钢索不是一条直线,那么滑下后不能到达点,所以认为钢索是一条平直的直线,已知落差与水平距离,用勾股定理可求得钢索的长度,过江时不计阻力,要使滑到终点时速度为,根据能量守恒定理列出关系式,求解出用草时滑过的距离即安全过江策略。
对于问题二,考虑钢索的重量,可将索道线性看为悬索线,以下支点为原点建立坐标系,求出悬索线的方程,用弧长公式求积分,得出钢索的长度,过江时不考虑阻力作用,但由于考虑钢索的重量,弦顷角会不断改变,用积分的知识,根据能量守恒得定理,求出用草时滑过的距离即安全过江策略。
对于问题三,考虑钢索的重量,索道为悬链线,由问题二已求出钢索长度,过江时考虑阻力的作用,根据能量守恒,开始的重力势能完全转化为阻力和用草时摩擦力所做的功,由于钢索有重量,弦顷角不断变化,并加上阻力的作用,运用能量守恒定理列出关系式,求出安全过江策略。
关键词:过江索道能量守恒摩擦力做工
问题重述
我们经常可以从电视看到这样的景象,山区的农民过江时使用过江索道。由于设计问题,当滑到终点时速度还很快,所以我们看到人们在过江时手中会握着一把草用于快到终点时减速。
现要求设计一个过江索道,条件及要求如下。
H
L
B
C
A
落差为,水平距离为。假设人从点出发,人用草减速时,摩擦系数为。要求滑到终点时,速度降为。
思考解决以下问题:
问题一:不考虑阻力和钢索的重量的情况下,合理设计你的过江索道和安全过江策略
问题二:考虑钢索的重量,不考虑阻力的情况,合理设计你的过江索道和安全过江策略
问题三:考虑钢索的重量和阻力的情况,合理设计你的过江索道和安全过江策略
问题分析
对于问题一:在不考虑阻力与钢索重量的情况下,认为钢索是一条平直的直线,已知落差与水平距离,用勾股定理可求得钢索的长度,过江时不计阻力,要使滑到终点时速度为,根据能量守恒,开始的重力势能完全转变为用草减速时的摩擦力所做的工,从而求出最佳的减速点即何处用草。
对于问题二:考虑钢索的重量的情况下,在索道的设计计算中,人们公认索道的准确线形是悬链线,以下支点为原点,建立直角坐标系,求出悬链线的方程,再用弧长公式求出钢索的长度,由于考虑了钢索的重量,过江时弦顷角不断在改变,计算摩擦力做工时,把角度化为无数个段进行加和求解,可求出用草减速的最佳位置。
对于问题三:考虑钢索的重量,索道的线性也为悬索线,由模型二已求出了考虑钢索重量下的悬索线长,过江时考虑阻力的作用,由于钢索有重量,弦顷角不断变化,并加上阻力的作用,运用能量守恒定理,求出安全过江策略。
符号说明
表一:符号说明表
符号
说明
用草时人滑过的距离
钢索的长度
弦顷角
悬链线上用草的位置
悬链线与水平面的夹角
悬链线的水平张力
注:还有一些变量没写出,会在模型建立中一一定义
模型假设
假设一:假设过江时均没有刮大风,下大雨情况;
假设二:钢索在负重时不变形;
假设三:所有人均能安全过江;
假设四:钢索是理想柔性的,不受压不受弯;
假设五:钢索的自重沿曲线均匀分布;
假设六:钢索的横截面积在自重及外载荷作用下变化微小,可忽略不计;
模型的建立与求解
模型一的建立:
问题一中不考虑钢索的重量,那么如果钢索不是一条拉直的线,那么就会出现图一中的情况,当人一开始滑下时,会直接下落,且最后无法冲上B点,会在B点的正下方相撞。

图一
所以认为钢索是一条平直的直线,已知落差为,水平距离为。

图一:不计阻力与钢索重量时的图形
用勾股定理:
钢索绳长
(1)
载人时不考虑阻力的作用,过江时的摩擦力只在用草时有,根据能量守恒定理:
(2)
有图可知:
(3)

其中为弦顷角,为用草时滑过的钢索长度。
模型一的求解:
求解(2)式得
(4)
又因为,所以且
模型二的建立:
问题二中考虑了钢索的重量,在索道的设计计算中,人们公认索道的准确线形是悬链线,以下支点为原点,建立直角坐标系。

图二:索道线性示意图
由图二则有:
(5)
其中为悬链线的水平张力,为悬链线的单位长度重量。
设水平张力系数为,则
(6)
求解(3)式得:
(7)
由边界条件:代入式子得:
(8)
令,求出最低点坐标
(9)
将代入可得:
(10)
则悬线索长为:
(11)
代入(8)式可得:
(12)